Depende de lo que quieras. Hay una [matemática] y [/ matemática] única que satisface la ecuación, dada [matemática] x [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática], pero no estoy seguro de que haya una fórmula fácil para ella.
Para ver que realmente hay una [matemática] y [/ matemática], deje que [matemática] u = \ sqrt {\ frac {y} {x}} [/ matemática]. Entonces,
[matemáticas] z = u ^ {2+ \ frac {1} {u}} [/ matemáticas]
y al usar la diferenciación logarítmica o la regla de la cadena en dos variables, obtienes
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[matemáticas] \ frac {dz} {du} = u ^ {\ frac {1} {u}} (2u + 1- \ log u) [/ matemáticas]
lo cual es positivo, porque [matemática] u> 0 [/ matemática] y [matemática] 2u + 1> \ log u [/ matemática].
Por lo tanto, esta función está aumentando. En particular, es uno a uno y podemos expresar [math] u [/ math] como una función de [math] z [/ math], para [math] z [/ math] en el rango.
Entonces, dada [matemática] z [/ matemática], hay una única [matemática] u [/ matemática] y [matemática] y = xu ^ 2 [/ matemática].
El único problema es que, hasta donde yo sé, no existe una fórmula ordenada para [matemáticas] u [/ matemáticas], además del hecho de que [matemáticas] u [/ matemáticas] es el supremum del conjunto de números tal que [ matemáticas] t [/ matemáticas] [matemáticas] ^ {2+ \ frac {1} {t}} [/ matemáticas] es menor que [matemáticas] z [/ matemáticas].