No conozco la frase “álgebra tropical”, pero supongo que se refiere al álgebra relacionada con la geometría tropical. En particular, probablemente se refiere a los semirejuntos [math] (\ mathbb {R} [x_1, \ ldots, x_n], \ oplus, \ otimes) [/ math] que aparecen allí. La palabra “semiring” se refiere a una estructura algebraica con los axiomas de un anillo, pero omite el requisito de que la adición tenga un elemento de identidad e inversos. De hecho, una vez que definamos sus operaciones, veremos que estos semirejuntos no tienen ninguno.
Llamemos a [math] (\ mathbb {R} [x_1, \ ldots, x_n], \ oplus, \ otimes) [/ math] por el nombre [math] A_n [/ math] por brevedad. Los elementos de [math] A_n [/ math] son polinomios en los indeterminados [math] x_1, \ ldots, x_n [/ math] con coeficientes en [math] \ mathbb {R} [/ math] con [math] \ oplus [/ math] como nuestra suma y [math] \ otimes [/ math] como nuestra multiplicación. Consideramos estos polinomios como funciones [matemáticas] p (x_1, \ ldots, x_n): \ R ^ n \ to \ R [/ math]. Como es habitual, los polinomios constantes [math] a \ in \ mathbb {R} [/ math] se identifican con las funciones constantes que llevan todo al número real [math] r [/ math]. El indeterminado [math] x_i [/ math] toma [math] (a_1, \ ldots, a_n) \ in \ mathbb {R} ^ n [/ math] a la coordenada [math] i [/ math] th [math] a_i [/ matemáticas]. Sin embargo, la suma y la multiplicación se definen de manera diferente. Si [math] p (x), q (x) \ en A_n [/ math], definimos [math] p (x) \ otimes q (x) = p (x) + q (x) [/ math] . (¡Nuestra “multiplicación” es la suma!) [Math] p (x) \ oplus q (x) [/ math] se define como [math] \ mathrm {max} (p (x), q (x)) [ /matemáticas]. (Nuestra “adición” está tomando el máximo. Algunas personas prefieren usar mínimos, pero esto no hace mucha diferencia).
Por ejemplo, en el semiring [math] A_1 [/ math], [math] 0 [/ math] [math] \ oplus x \ oplus (-1 \ otimes x \ otimes x) [/ math] es la función
[matemáticas] a \ mapsto \ begin {cases} 0 & \ text {if} a \ leq 0 \\ a & \ text {if} 0 <a \ leq 1 \\ 2a – 1 & \ text {if} a \ geq 1 \ end {cases} [/ math]
- Si la suma de los términos p de AP es igual a la suma de sus términos q, ¿cómo demuestra que la suma de los términos (p + q) es igual a cero?
- Si 1 ^ 0 = 1 ^ 1, ¿podemos decir que 0 = 1?
- ¿Cuál es la solución general sinx (cosx / 4-2sinx) + (1 + sinx / 4-2cosx) cosx = 0?
- Cómo encontrar el límite: – [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \ dfrac {\ sin \ left (\ pi \ cos ^ 2x \ right)} {x ^ 2}
- Dado [matemática] u = \ frac {\ ln (x)} {\ ln (y)} [/ matemática] y [matemática] z = u ^ {- u} [/ matemática], ¿es posible resolver para x ?
Al principio, se siente bastante extraño trabajar en este semiring. Por ejemplo, [math] x \ oplus 0 [/ math] no es igual a [math] x [/ math], pero [math] x \ otimes 0 [/ math] lo es.
Anteriormente afirmé que [math] A_n [/ math] no tenía un elemento de identidad para agregar, [math] \ oplus [/ math]. Supongamos por contradicción que [math] p (x) \ en A_n [/ math] era un elemento de identidad. Entonces [math] p (x) \ oplus q (x) = q (x) [/ math] para todos [math] q (x) \ en A_n [/ math]. Pensando en los máximos, esto significa que [math] p (x) \ leq q (x) [/ math] para todos [math] q (x) \ en A_n [/ math] y [math] x \ in \ mathrm { R} ^ n [/ matemáticas]. Sin embargo, [math] p (x)> p (x) \ otimes -1 [/ math] para todos [math] x [/ math]: hemos cambiado [math] p (x) [/ math] graficar hacia abajo por una unidad. Esto contradice que [math] p (x) [/ math] es un elemento de identidad, y hemos terminado. Como [math] A_n [/ math] no tiene ningún elemento de identidad para la suma, su adición tampoco puede tener inversas.
Si desea tener una idea de cómo trabajar en este semired, no es un mal ejercicio para verificar que satisface los axiomas de semiring. El enlace de Wikipedia anterior proporciona una lista completa de axiomas, excepto que toman la convención de que hay una identidad aditiva en un semired, algo que reconocen que no es universal.