¿Por qué la derivada de ln ([matemáticas] x [/ matemáticas]) es igual a [matemáticas] 1 / x [/ matemáticas]?

Answer 1

Usa el hecho de que,

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} (x) = 1 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle e ^ {\ ln x} = x \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} (e ^ {\ ln x}) = \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} ( x) \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle e ^ {\ ln x} \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} (\ ln x) = 1 \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle x \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} (\ ln x) = 1 \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} (\ ln x) = \ frac {1} {x} \ tag * {} [/ math]

Herramientas utilizadas:

[matemáticas] \ displaystyle e ^ {\ ln 1} = 1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} (e ^ {mx}) = me ^ {mx} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} (x) = 1 \ iff \ lim_ {h \ rightarrow 0} \ frac {(x + h) -x} {h } = 1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Answer 2

De la definición de diferenciabilidad llegamos a [math] (ln (x_0)) ‘= \ lim_ {x \ to x_0} \ frac {ln (x) -ln (x_0)} {x-x_0} [/ math], a Empezar con. Ahora podemos usar [matemáticas] ln (x) -ln (x_0) = ln (\ frac {x} {x_0}) [/ matemáticas] y [matemáticas] x-x_0 = x_0 (\ frac {x} {x_0} -1) [/ matemáticas], más o menos.

El paso intermedio sería [matemáticas] \ frac {ln (\ frac {x} {x_0})} {x_0 (\ frac {x} {x_0} -1)} = \ frac {1} {x_0} ln (\ frac {x} {x_0} ^ \ frac {1} {\ frac {x} {x_0} -1}) [/ math]. Las reglas para las expresiones logarítmicas estaban claramente a nuestra disposición, con esto, para factorizar esa cosa [matemática] \ frac {1} {x_0} [/ matemática].

Parece que necesitamos [matemáticas] \ lim _ {\ xi \ a 1} ln (\ xi ^ \ frac {1} {\ xi-1}) = 1 [/ matemáticas], voy a asumir que esto se cumple porque [ math] \ lim _ {\ xi \ to 1} \ xi ^ \ frac {1} {\ xi-1} = e [/ math] (Wow, esta es una expresión indefinida del tipo [math] 1 ^ {\ frac {1} {0}} [/ math], es decir, [math] 1 ^ {\ infty} [/ math], es mejor verificar dos veces su límite, ¡así que por ahora es una mera proposición!

Entonces, eventualmente, llegamos a [math] (ln (x_0)) ‘= \ frac {1} {x_0} [/ math], lo más esperado.

Tenga en cuenta que el énfasis, aquí, sería no usar la regla para la derivación de funciones inversas, explícitamente. Además de ser demasiado aburrido, limitaría la aplicabilidad general de la prueba, de alguna manera.

Otro problema con la derivación al tomar expresamente el límite sería evitar cuidadosamente [math] dx [/ math] ‘es. Tengo ganas de estar en una cruzada contra la práctica de tratar [math] dx [/ math] como una variable ordinaria. [math] dx [/ math] es cero.

Por cierto, nos estamos centrando en algún aspecto extraño de los números irracionales. En cuanto a los esfuerzos invertidos en conseguir uno de esos, ¿realmente debemos creer en la historia de que existe una abundancia incontable de irracionales?

Answer 3

[matemáticas] [/ matemáticas] Supongo que el OP es el estudiante de la escuela que acaba de comenzar a estudiar derivados.

Entonces, la mejor explicación de la derivada del algoritmo natural sería usar los primeros principios. Recordar que:
[matemáticas] f ‘(x) = lim_ {dx \ rightarrow 0} (\ frac {f (x + dx) -f (x)} {dx}) [/ math]

Entonces,
[matemáticas] (ln (x)) ‘= lim_ {dx \ rightarrow0} (\ frac {ln (x + dx) -ln (x)} {dx}) [/ math]

Usando las propiedades del logaritmo,
[matemáticas] ln (x + dx) -ln (x) = ln (\ frac {x + dx} {x}) = ln (1+ \ frac {dx} {x}) [/ matemáticas], entonces
[matemáticas] (ln (x)) ‘= lim_ {dx \ rightarrow0} \ frac {1} {dx} ln (1+ \ frac {dx} {x}) [/ math]

Ahora, hacemos una sustitución [math] t = \ frac {dx} {x} [/ math], entonces [math] dx = xt [/ math]. Vemos que cuando [math] dx [/ math] se acerca a cero, [math] t [/ math]. También se acerca a cero. Por lo tanto:
[matemáticas] (ln (x)) ‘= lim_ {t \ rightarrow 0} \ frac {1} {xt} ln (1 + t) = \ frac {1} {x} lim_ {t \ rightarrow 0} ln ( 1 + t) ^ {\ frac {1} {t}} [/ math]

Y si [math] t \ rightarrow 0 [/ math], [math] \ frac {1} {t} \ rightarrow \ infty [/ math]

[matemáticas] (ln (x)) ‘= \ frac {1} {x} lim _ {\ frac {1} {t} \ rightarrow \ infty} ln (1 + t) ^ {\ frac {1} {t} }[/matemáticas]

Ahora, utilizamos la famosa identidad: [matemáticas] lim_ {a \ rightarrow \ infty} (1+ \ frac {1} {a}) ^ {a} = e \ aprox 2.718 [/ matemáticas], con [matemáticas] a = \ frac {1} {t} [/ matemáticas]

[matemáticas] (ln (x)) ‘= \ frac {1} {x} lim _ {\ frac {1} {t} \ rightarrow \ infty} ln (1 + t) ^ {\ frac {1} {t} }[/matemáticas]
[matemáticas] (ln (x)) ‘= \ frac {1} {x} ln (e) [/ matemáticas]

Y como [matemáticas] ln (e) = 1 [/ matemáticas], entonces
[matemáticas] (ln (x)) ‘= \ frac {1} {x} [/ matemáticas]

Answer 4

Esta pregunta es bastante simple de responder con las definiciones correctas.

Asumiré que estamos hablando

[math] \ ln: \ mathbb {R} _ {\ gt 0} \ to \ mathbb {R} [/ math]

Definido como el inverso de la función exponencial.

Lo que significa [matemáticas] \ exp \ circ \ ln = \ ln \ circ \ exp = id [/ matemáticas]

Como consecuencia, para [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas], que [matemáticas] \ exp (\ ln (x)) = x [/ matemáticas]

Definimos la función exponencial, para ser la solución única de

[matemáticas] f ‘= f [/ matemáticas] y [matemáticas] f (0) = 1 [/ matemáticas]

Suponiendo que conozca la regla de la cadena, esto ahora es bastante fácil de resolver.

[matemáticas] 1 = id ‘(x) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (\ exp \ circ \ ln) ‘(x) [/ matemáticas] (inverso)

[math] = \ exp ‘(\ ln (x)) \ cdot \ ln’ (x) [/ math] (chainrule)

[matemáticas] = \ exp (\ ln (x)) \ cdot \ ln ‘(x) [/ matemáticas] (f = f’)

[matemáticas] = x \ cdot ln ‘(x) [/ matemáticas] (inverso)

Por lo tanto, [math] 1 = x \ cdot \ ln ‘(x) [/ math]

[math] \ Rightarrow \ ln ‘(x) = \ frac {1} {x} [/ math]

Answer 5

La respuesta más simple es esta:

Definir (no probar)

[matemáticas] L (x) = \ int_ {u = 1} ^ x \ frac {1} {u} du [/ matemáticas]

Una vez hecho esto, el teorema fundamental del cálculo te dice que la derivada es lo que quieres tener

Luego, suponga que [math] x \ gt 0, [/ math] y [math] y \ gt 0 [/ math]

Entonces puedes mostrar fácilmente que
[matemáticas] L (xy) = \ int_ {u = 1} ^ {xy} \ frac {du} {u} = \ int_ {u = 1} ^ {x} \ frac {du} {u} + \ int_ {u = x} ^ {xy} \ frac {du} {u} [/ math]
En la segunda integral, realice la sustitución u = xv y rápidamente encontrará que

[matemáticas] L (xy) = L (x) + L (y) [/ matemáticas]

Es fácil ver que L (1) = 0, que L (x) es una función creciente y que sus propiedades coinciden con las del logaritmo natural. Entonces, en lugar de demostrar que el logaritmo natural tiene esta derivada, la definimos de esta manera. También definimos exp (x) como la función inversa de L (x), y es fácil mostrar que exp ‘(x) = exp (x), la propiedad clave de exp (x). Por último, definimos e = exp (1).

Este es el fundamento más fácil de estas dos funciones que no implica razonamiento circular o conceptos aún más avanzados (series infinitas, por ejemplo, de una función que ni siquiera podemos evaluar … solo encontremos la derivada de …)

Answer 6

Deje [math] y (x) = \ ln (x). [/ Math]

Tomando la exponencial de ambos lados obtenemos

[matemáticas] \ exp (y (x)) = \ exp (\ ln (x)) [/ matemáticas]

que se simplifica a

[matemáticas] \ exp (y (x)) = x. [/ matemáticas]

Vamos a diferenciar ambos lados con respecto a x.

[matemáticas] \ exp (y (x)) \ frac {dy} {dx} = 1. [/ matemáticas]

Ahora recordamos que [math] x = \ exp (y (x)) [/ math] entonces

[matemáticas] x \ frac {dy} {dx} = 1 [/ matemáticas]

lo que lleva a

[matemáticas] y ‘(x) = \ frac {d (\ ln (x))} {dx} = \ frac {1} {x}. [/ matemáticas]

Answer 7

Un enfoque es definir ln (x) como la función inversa de exp (x)
defina u = ln (x) y exponga ambos lados
f (u) = exp (u) = x
df / dx = df / du. du / dx diferenciar wrt x (regla de la cadena)

df / dx = 1
df / du = exp (u) = x por definición de exp
entonces 1 = x. du / dx
o du / dx = 1 / x

Answer 8

A2A: Realmente es por definición de la función [math] \ ln (x) [/ math]. Bruce Balden da los detalles; pero lo importante es que no es algo que deba explicarse.

Answer 9

Si volviéramos a lo básico y usáramos la definición límite de diferenciación, encontraríamos la respuesta.

El diferencial es lim (h-> 0) de f (x + h) – f (x) / h

Ingresando ln (x) se convierte en

Lim (h-> 0) de ln (x + h) – ln (x) / h el límite de esta función es 1 / x

Entonces el diferencial de ln (x) es 1 / x

Answer 10

Answer 11

¿Veo un apóstrofe después de ln (X)? Suponiendo que esto significa la derivada de ln (X), puedo proceder:

Sea y = ln (X) Entonces e ^ y = X se diferencia implícitamente para obtener

e ^ y dy / dx = 1 Entonces dy / dx = y ‘= (ln (X))’

= 1 / (e ^ y) = 1 / (e ^ ln (X)) = 1 / X = RHD

QED

Supongo que al colapsador automático no le gustará esta respuesta porque es demasiado corta, por lo que debe estar equivocada. Este imbécil totalmente obediente (TOM) es simplemente un fascista. ¿Incluir una biografía? ¿Que quieren ellos? ¿Mi historia de vida? Aquí va, luego prepárate para ser cautivado por mi increíble vida. Solo bromeando esto podría ser lo suficientemente largo ahora.

Answer 12

Esta es una igualdad, no una ecuación. Por lo tanto, no se trata de resolverlo. .