Cómo demostrar [matemáticas] \ tan (A + 60 ^ \ circ) + \ tan (A-60 ^ \ circ) = \ frac {4sin (2A)} {1-4sin ^ 2 (A)} [/ math]

Answer 1

Dejar:

[matemáticas] \ alpha = A + 60 ^ {\ circ} \ tag {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ beta = A – 60 ^ {\ circ} \ tag {2} [/ matemáticas]

Entonces:

[matemáticas] \ alpha + \ beta = 2A \ etiqueta {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ alpha – \ beta = 120 ^ {\ circ} \ tag {4} [/ matemáticas]

Recordar que:

[matemáticas] \ cos \ alpha \ cdot \ cos \ beta – \ sin \ alpha \ cdot \ sin \ beta = \ cos (\ alpha + \ beta) \ tag {5} [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 \ cos \ alpha \ cdot \ cos \ beta = \ cos (\ alpha – \ beta) + \ cos (\ alpha + \ beta) \ tag {6} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cos (2A) = 1 – 2 \ sin ^ 2 (A) \ etiqueta {7} [/ matemáticas]

Usando la tangente de una fórmula de suma:

[matemáticas] \ tan (\ alpha + \ beta) = \ dfrac {\ tan \ alpha + \ tan \ beta} {1 – \ tan \ alpha \ cdot \ tan \ beta} \ tag * {} [/ matemáticas]

exprese la suma de tangentes solicitada, en el numerador, como:

[matemáticas] \ tan \ alpha + \ tan \ beta = \ tan (2A) (1 – \ tan \ alpha \ cdot \ tan \ beta) = \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {\ sin (2A)} {\ cos (2A)} \ cdot \ dfrac {\ cos \ alpha \ cdot \ cos \ beta – \ sin \ alpha \ cdot \ sin \ beta} {\ cos \ alpha \ cdot \ cos \ beta} = \ tag * {} [/ math]

por ( 5 ) y ( 6 ):

[matemáticas] \ dfrac {2 \ sin (2A)} {\ cos (2A)} \ cdot \ dfrac {\ cos (2A)} {\ cos (2A) + \ cos 120 ^ {\ circ}} = \ tag *{}[/matemáticas]

cancele [math] \ cos (2A) [/ math] s:

[matemáticas] \ dfrac {2 \ sin (2A)} {\ cos (2A) + \ cos (90 ^ {\ circ} + 30 ^ {\ circ})} = \ tag * {} [/ matemáticas]

por ( 7 ) y [matemáticas] \ cos (90 ^ {\ circ} + 30 ^ {\ circ}) = – \ sin 30 ^ {\ circ} = 0.5 [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ dfrac {4 \ sin (2A)} {2 – 4 \ sin ^ 2 (A) – 1} = \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {4 \ sin (2A)} {1 – 4 \ sin ^ 2 (A)} \ tag * {} [/ matemáticas]

Answer 2

Transformemos [math] \ tan (a + b) + \ tan (ab) [/ math] en general usando

[matemáticas] \ tan (a \ pm b) = \ frac {\ sin (a \ pm b)} {\ cos (a \ pm b)} [/ matemáticas]

y las identidades trigonométricas para [math] \ sin (a \ pm b), \ cos (\ pm b). [/ math]

Uno consigue

[matemáticas] \ begin {eqnarray *} \ tan (a + b) & + & \ tan (a- b) = \ frac {\ sin (a + b)} {\ cos (a + b)} + \ frac {\ sin (a- b)} {\ cos (ab)} \\ & = & \ frac {\ sin (a + b) \ cos (ab) + \ sin (a- b) \ cos (a + b)} { \ cos (a + b) \ cos (ab)} \\ & = & \ frac {(\ sin (a) \ cos (b) + \ cos (a) \ sin (b)) (\ cos (a) \ cos (b) + \ sin (a) \ sin (b))} {(\ cos (a) \ cos (b) – \ sin (a) \ sin (b)) (\ cos (a) \ cos (b) + \ sin (a) \ sin (b))} \\ & \ quad \ quad & + \ frac {(\ sin (a) \ cos (b) – \ cos (a) \ sin (b)) (\ cos (a) \ cos (b) – \ sin (a) \ sin (b))} {(\ cos (a) \ cos (b) – \ sin (a) \ sin (b)) (\ cos (a) \ cos (b) + \ sin (a) \ sin (b))} \\ & = & \ frac {2 \ sin (a) \ cos (a) \ cos ^ 2 (b) +2 \ sin (a) \ cos (a) \ sin ^ 2 (b)} {\ cos ^ 2 (a) \ cos ^ 2 (b) – \ sin ^ 2 (a) \ sin ^ 2 (b)} \ \ & = & \ frac {2 \ sin (a) \ cos (a)} {\ cos ^ 2 (a) \ cos ^ 2 (b) + \ cos ^ 2 (a) \ sin ^ 2 (b) – \ cos ^ 2 (a) \ sin ^ 2 (b) – \ sin ^ 2 (a) \ sin ^ 2 (b)} \\ & = & \ frac {\ sin (2a)} {\ cos ^ 2 ( a) – \ sin ^ 2 (b)} \ end {eqnarray *} [/ math]

En su caso especial [matemática] b = 60 ° [/ matemática] se obtiene con [matemática] \ sin (60 °) = \ frac {\ sqrt 3} {2} [/ matemática]

[matemáticas] \ tan (a + 60 °) + \ tan (a- 60 °) = \ dfrac {\ sin (2a)} {\ cos ^ 2 (a) – 3/4} = \ dfrac {4 \ sin ( 2a)} {4 \ cos ^ 2 (a) -3} = \ dfrac {4 \ sin (2a)} {1-4 \ sin ^ 2 (a)} [/ math]

Answer 3

Supongo que has omitido algunos paréntesis ESENCIALES.

El lado derecho es 4sin (2A) / (1 – 4sin ^ 2 (A)) = 8sin (A) cos (A) / (1 – 4sin ^ 2 (A)).

El lado izquierdo es

(tan (A) + sqrt (3)) / (1-sqrt (3) tan (A)) + (tan (A) -sqrt (3)) / (1 + sqrt (3) tan (A))

= ((tan (A) + sqrt (3)) (1 + sqrt (3) tan (A)) + ((tan (A) -sqrt (3)) (1-sqrt (3) tan (A)) ) / (1 – 3tan ^ 2 (A))

= (4tan (A) + sqrt (3) tan ^ 2 (A) + sqrt (3) + 4tan (A) -sqrt (3) tan ^ 2 (A) -sqrt (3)) / (1 – 3tan ^ 2 (A))

= 8tan (A) / (1 – 3tan ^ 2 (A)) = 8sin (A) cos (A) / (cos ^ 2 (A) – 3sin ^ 2 (A)).

Estás equiparando esto a 8sin (A) cos (A) / (1 – 4sin ^ 2 (A))

de modo que cos ^ 2 (A) – 3sin ^ 2 (A) = 1 – 4sin ^ 2 (A) que simplemente dice que

sen ^ 2 (A) + cos ^ 2 (A) = 1.

Por lo tanto, la solución es A = cualquier cosa. No lo resuelves, lo pruebas. Hay una diferencia entre resolver y probar.

Answer 4

Tenemos: [matemáticas] \ tan \ big (A + 60 ^ {\ circ} \ big) + \ tan \ big (A-60 ^ {\ circ} \ big) [/ math]

Apliquemos las identidades de ángulo compuesto para [math] \ tan (A) [/ math]:

[matemáticas] = \ frac {\ tan (A) + \ tan (60 ^ {\ circ})} {1- \ tan (A) \ tan (60 ^ {\ circ})} + \ frac {\ tan ( A) – \ tan (60 ^ {\ circ})} {1+ \ tan (A) \ tan (60 ^ {\ circ})} [/ math]

[matemáticas] = \ frac {\ tan (A) + \ sqrt {3}} {1- \ tan (A) \ cdot \ sqrt {3}} + \ frac {\ tan (A) – \ sqrt {3} } {1+ \ tan (A) \ cdot \ sqrt {3}} [/ math]

[matemáticas] = \ frac {\ tan (A) + \ sqrt {3}} {1- \ sqrt {3} \ tan (A)} + \ frac {\ tan (A) – \ sqrt {3}} { 1+ \ sqrt {3} \ tan (A)} [/ math]

[matemáticas] = \ frac {\ big (\ tan (A) + \ sqrt {3} \ big) \ big (1+ \ sqrt {3} \ tan (A) \ big) + \ big (\ tan (A ) – \ sqrt {3} \ big) \ big (1- \ sqrt {3} \ tan (A) \ big)} {\ big (1+ \ sqrt {3} \ tan (A) \ big) \ big (1- \ sqrt {3} \ tan (A) \ big)} [/ math]

[matemáticas] = \ frac {\ big (\ tan (A) + \ sqrt {3} \ tan ^ {2} (A) + \ sqrt {3} +3 \ tan (A) \ big) + \ big ( \ tan (A) – \ sqrt {3} \ tan ^ {2} (A) – \ sqrt {3} +3 \ tan (A) \ big)} {(1) ^ {2} – \ big (\ sqrt {3} \ tan (A) \ big) ^ {2}} [/ math]

[matemáticas] = \ frac {8 \ tan (A)} {1-3 \ tan ^ {2} (A)} [/ matemáticas]

Apliquemos la identidad trigonométrica estándar [matemáticas] \ tan (A) = \ frac {\ sin (A)} {\ cos (A)} [/ matemáticas]:

[matemáticas] = \ frac {8 \ bigg (\ frac {\ sin (A)} {\ cos (A)} \ bigg)} {1-3 \ bigg (\ frac {\ sin ^ {2} (A) } {\ cos ^ {2} (A)} \ bigg)} [/ math]

[matemáticas] = \ frac {\ frac {8 \ sin (A)} {\ cos (A)}} {\ frac {\ cos ^ {2} (A) -3 \ sin ^ {2} (A)} {\ cos ^ {2} (A)}} [/ math]

Una de las identidades pitagóricas es [matemática] \ cos [/ matemática] [matemática] ^ {2} (A) + \ sin ^ {2} (A) = 1 [/ matemática].

Podemos reorganizarlo para obtener:

[math] \ Rightarrow \ cos ^ {2} (A) = 1- \ sin ^ {2} (A) [/ math]

Apliquemos esta identidad reorganizada a nuestra prueba:

[matemáticas] = \ frac {\ frac {8 \ sin (A)} {\ cos (A)}} {\ frac {\ big (1- \ sin ^ {2} (A) \ big) -3 \ sin ^ {2} (A)} {\ cos ^ {2} (A)}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {\ frac {8 \ sin (A)} {\ cos (A)}} {\ frac {1-4 \ sin ^ {2} (A)} {\ cos ^ {2} ( A)}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {8 \ sin (A)} {\ cos (A)} \ cdot \ frac {\ cos ^ {2} (A)} {1-4 \ sin ^ {2} (A)} [/matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {8 \ sin (A) \ cos (A)} {1-4 \ sin ^ {2} (A)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {4 \ big (2 \ sin (A) \ cos (A) \ big)} {1-4 \ sin ^ {2} (A)} [/ math]

Apliquemos la identidad de doble ángulo para [math] \ sin (A) [/ math]:

[math] = \ frac {4 \ sin (2A)} {1-4 \ sin ^ {2} (A)} \ hspace {1 mm} [/ math] QED

Answer 5

Answer 6

(t + √3) (1 + t√3) + (t-√3) (1-t√3) / {1-t√3} (1 + t√3) = LHS

8tanx (1–4sin²x) = 4sin2x

8sinx-32sin³x = 8sinx

sin³x = 0

x = πn, n∈Z