Si a <b <c 0, ¿la ecuación cuadrática (xa) (xc) + k (xb) (xd) = 0 tiene todas las raíces reales y distintas o todas las raíces reales pero no necesariamente distintas?

[matemáticas] (xa) (xc) + k (xb) (xd) = 0 [/ matemáticas]

[matemática] x ^ 2-ax-cx + ac + k (x ^ 2-bx-dx + db) = 0 [/ matemática]

[matemática] x ^ 2-ax-cx + ac + kx ^ 2-kbx-kdx + kdb = 0 [/ matemática]

[matemáticas] (1-k) x ^ 2- (a + c + kb + kd) x + (ac + kdb) = 0 [/ matemáticas]

comparando con [matemáticas] hx ^ 2 + ix + j = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] h = (1-k) [/ matemáticas]

[matemáticas] i = – (a + c + kb + kd) [/ matemáticas]

[matemáticas] j = ac + kdb [/ matemáticas]

[matemáticas] i ^ 2–4hj = (a + c + kb + kd) ^ 2– (4–4k) (ac + kdb) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (a + c) ^ 2 + 2 (a + c) (kb + kd) + (kb + kd) ^ 2- (ac + 4kdb-4kac-4k ^ 2db) [/ matemáticas]

[matemáticas] = a ^ 2 + 2ac + c ^ 2 + 2akb + 2ckb + 2akd + 2ckd + (kb) ^ 2 + k ^ 2db + (kd) ^ 2-ac-4kdb + 4kac + 4k ^ 2db [/ math]

[matemáticas] = a ^ 2 + c ^ 2 + (2 + 4k-1) ac + (2a + kb + 2c) kb + (2a + 2c + kd) kd + k ^ 2 (1 + db + 4db) -4kdb [ /matemáticas]

aquí, sustituir cualquier valor a, b, c, d, la ecuación siempre será positiva, ya que tiene todas las raíces reales