¿Cómo se muestra que [matemáticas] \ theta) \ tan (\ theta / 2) = 2-2 \ cos ^ 2 (\ theta / 2) [/ matemáticas]?

Answer 1

Se siente un poco artificial, pero tomándolo literalmente podemos tomar prestada la idea de esta respuesta de Quora:

Por construcción, el ángulo [math] \ angle ACE [/ math] tiene el vértice [math] C [/ math] en la circunferencia y subtends [math] \ sigma [/ math] de [math] \ sigma [/ math] s diámetro [matemática] AE [/ matemática]. Por lo tanto, según la Proposición 31 del Libro 3, el ángulo [matemáticas] \ ángulo ACE [/ matemáticas], y el triángulo correspondiente [matemáticas] \ triángulo ACE [/ matemáticas], es correcto.

El triángulo [math] \ triangle CBA [/ math] es correcto por construcción y comparte el ángulo en el vértice [math] A [/ math] con [math] \ triangle ACE [/ math]. Por lo tanto, según la Proposición 32 del Libro 1, el ángulo restante de [matemática] \ triángulo CBA [/ matemática] en el vértice [matemática] C [/ matemática], [matemática] \ ángulo ACB [/ matemática], es igual al ángulo de [matemática] \ triángulo ACE [/ matemática] en el vértice [matemática] E [/ matemática], [matemática] \ ángulo AEC [/ matemática]. Por lo tanto, por AAA [math] \ triangle ACE [/ math] y [math] \ triangle CBA [/ math] son ​​similares y por el Libro 6 Proposición 4:

[matemáticas] \ dfrac {| AB |} {| AC |} = \ dfrac {| AC |} {| AE |} \ tag * {} [/ matemáticas]

o:

[matemáticas] | AB | = \ dfrac {| AC | ^ 2} {| AE |} = \ dfrac {4 \ cos ^ 2 \ dfrac {\ theta} {2}} {2} = 2 \ cos ^ 2 \ dfrac {\ theta} { 2} \ tag {1} [/ matemáticas]

Mediante un razonamiento similar, demostramos que [math] \ triangle CBE [/ math] es similar a [math] \ triangle CBA [/ math] (y [math] \ triangle ACE [/ math]). Por lo tanto:

[matemáticas] \ angle BCE = \ dfrac {\ theta} {2} \ tag * {} [/ math]

y, por definición de [math] \ triangle CBE [/ math]:

[matemáticas] \ tan \ dfrac {\ theta} {2} = \ dfrac {| BE |} {| BC |} = \ dfrac {| BE |} {\ sin \ theta} \ tag * {} [/ math]

de donde:

[matemáticas] | BE | = \ sin \ theta \ cdot \ tan \ dfrac {\ theta} {2} \ tag {2} [/ math]

Por último, el segmento de línea [matemática] AE [/ matemática] es compuesto:

[matemáticas] | AC | = 2 = | AB | + | BE | [/ matemáticas]

De ( 1 ) y ( 2 ):

[matemáticas] 2 = 2 \ cos ^ 2 \ dfrac {\ theta} {2} + \ sin \ theta \ cdot \ tan \ dfrac {\ theta} {2} \ tag * {} [/ matemáticas]

o:

[matemáticas] \ sin \ theta \ cdot \ tan \ dfrac {\ theta} {2} = 2 – 2 \ cos ^ 2 \ dfrac {\ theta} {2} \ tag * {} [/ matemáticas]

Answer 2

Escribámoslo de nuevo:

Cómo probar:

[matemáticas] \ sin \ theta \ tan \ frac {\ theta} {2} = 2 – 2 {\ cos ^ 2} \ frac {\ theta} {2} \\ [/ matemáticas]

1. Hay [math] theta / 2 [/ math] y [math] theta [/ math] en esta proposición. Deberíamos convertir uno de ellos en el otro. El más fácil es [math] theta [/ math] a [math] theta / 2 [/ math]
2. Hay poder una vez y cuadrado. Necesitamos cambiar al poder una vez.

Entonces, podemos probarlo de la siguiente manera:

[matemáticas] {\ rm {La izquierda}} \\ = 2 \ sin \ frac {\ theta} {2} \ cos \ frac {\ theta} {2} \ cdot \ frac {{\ sin \ frac {\ theta } {2}}} {{\ cos \ frac {\ theta} {2}}} \\ = 2 {\ sin ^ 2} \ frac {\ theta} {2} \\ {\ rm {The Right}} \\ = 1 + 1 – 2 {\ cos ^ 2} \ frac {\ theta} {2} \\ = 2 ({\ sin ^ 2} \ frac {\ theta} {2} + {\ cos ^ 2} \ frac {\ theta} {2}) – 2 {\ cos ^ 2} \ frac {\ theta} {2} \\ = 2 {\ sin ^ 2} \ frac {\ theta} {2} + 2 {\ cos ^ 2} \ frac {\ theta} {2} – 2 {\ cos ^ 2} \ frac {\ theta} {2} \\ = 2 {\ sin ^ 2} \ frac {\ theta} {2} [ /matemáticas]

Ahora esta proposición ha sido probada.

Gracias por tu lectura .

(Lamento que mi inglés no sea muy bueno, así que quizás haya algún error. Te agradecería si pudieras soportarlo (ಡ ω ಡ) hiahiahia

Answer 3

RHS

[matemáticas] = 2 (1 – \ sin ^ {2} [/ matemáticas] [matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ theta} {2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 {\ sin} ^ {2} {\ displaystyle \ frac {\ theta} {2}} [/ matemáticas]

LHS

[matemáticas] = {\ sin} \ theta \ cdot \ displaystyle \ frac {{\ sin} \ displaystyle \ frac {\ theta} {2}} {{\ cos} \ displaystyle \ frac {\ theta} {2}} [/matemáticas]

[matemáticas] = 2 {\ sin} \ displaystyle \ frac {\ theta} {2} \ cdot {\ cos} \ displaystyle \ frac {\ theta} {2} \ cdot \ displaystyle \ frac {{\ sin} \ displaystyle \ frac {\ theta} {2}} {{\ cos} \ displaystyle \ frac {\ theta} {2}} [/ math]

[math] = 2 {\ sin} \ displaystyle \ frac {\ theta} {2} \ cdot {\ sin} \ displaystyle \ frac {\ theta} {2} [/ math]

[matemáticas] = 2 {\ sin} ^ {2} \ displaystyle \ frac {\ theta} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] LHS = RHS

QED

Answer 4

Si observa que sin (theta) = 2 sin (theta / 2) cos (theta / 2) y lo sustituye en (cancelando el denominador cos (theta / 2) en el tan (theta / 2), entonces el resto sigue bastante automáticamente .