Cómo evaluar [matemáticas] \ int_ {1} ^ {3} [(x-1) ^ 2 (x-2) ^ 2 (x-3) ^ 2] dx [/ matemáticas] sin cálculos tediosos

Answer 1

Es fácil..

let [math] f (x) = (x-1) ^ {2} (x-2) ^ {2} (x-3) ^ {2} [/ math], se puede escribir como

[matemáticas] f (x) = [(x-1) (x-2) (x-3)] ^ {2} [/ matemáticas]

El análisis general de esta función (al verla) revela lo siguiente:

1. Esta función tiene raíces en x = 1,2,3 (toca el eje x)
2. Siempre + ve (ya que cuadramos la expresión)
3. Dado que la función es continua en todas partes en el intervalo 1 a 3, debe haber un máximo local entre las raíces, donde su tasa de cambio se convierte en cero, esto se debe al teorema de Rolle, esta función tiene 2 máximos locales, uno en el intervalo (1, 2) y el otro en (2,3)

con suficiente práctica en el análisis de funciones, notará la simetría en esta función. Deja que te enseñe.

Deje [math] y = (x-2) [/ math], ahora la función es [math] f (y) = [(y-1) (y) (y + 1)] ^ {2} [/ math ] La integral se convierte en [matemáticas] \ int _ {- 1} ^ {1} [(y-1) (y) (y + 1)] ^ {2} dy [/ matemáticas]

Las raíces de esta función f (y) están en y = -1,0,1.

Sustituir y con (x-2) es lo mismo que desplazar la gráfica de la función a la izquierda por 2 unidades. La integral (área debajo de la curva) permanece igual si cambia el gráfico a lo largo del eje x.

Pero sabemos que es una función par. es decir, [matemáticas] f (-y) = f (y) [/ matemáticas]. Esto implica que es una imagen especular a lo largo del eje y. Por lo tanto, encontrar el área bajo la curva de -1 a +1 es igual al doble del área bajo la curva de 0 a 1. Así es como puede decidir qué sustituir. La integral se convierte

[matemáticas] 2 \ int_ {0} ^ {1} [(y-1) (y) (y + 1)] ^ {2} dy [/ matemáticas] Esta es la expresión que debe escribir directamente. Todos los pasos anteriores se pueden hacer sin escribir nada.

Ahora, simplemente simplificando un poco:

[matemáticas] = 2 \ int_ {0} ^ {1} [(y ^ {2} -1) (y)] ^ {2} dy [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 \ int_ {0} ^ {1} [(y ^ {3} -y)] ^ {2} dy [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 \ int_ {0} ^ {1} [y ^ 6 + y ^ {2} – 2y ^ {4}] dy [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 [\ int_ {0} ^ {1} y ^ 6 dy + \ int_ {0} ^ {1} y ^ {2} dy – \ int_ {0} ^ {1} 2y ^ {4} dy] [/ math]

Ahora es demasiado fácil de resolver.

Estas son las gráficas para las funciones: el rojo representa f (x) original y el azul representa f (y), es decir, después del desplazamiento

Answer 2

La palabra ‘tedioso’ no está definida, al menos no lo suficientemente bien, en matemáticas, es subjetiva. Por ejemplo, encuentro la integral [matemáticas] \ int _ {- 2} ^ 2 (x-3) ^ 2 \ mathrm {d} x [/ matemáticas] tediosa. Probablemente se pregunte si hay una manera de calcular la integral [matemáticas] I: = \ int_ {1} ^ {3} [(x-1) ^ 2 (x-2) ^ 2 (x-3) ^ 2] \ mathrm {d} x [/ math] sin expandir los cuadrados en el integrando. Si ese es el caso, entonces uno puede usar el método de sustitución.

Sustituya [math] x-2 = t [/ math], de modo que [math] \ mathrm {d} x = \ mathrm {d} t [/ math]. Además, cuando [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas], uno tiene [matemáticas] t = -1 [/ matemáticas] y cuando [matemáticas] x = 3 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] t = 1 [/ matemáticas ]

Por lo tanto tenemos

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ 1 (t + 1) ^ 2t ^ 2 (t-1) ^ 2 \ mathrm {d} t [/ math]

[math] = \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ 1 \ left [(t + 1) t (t-1) \ right] ^ 2 \ mathrm {d} t [/ math]

[math] = \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ 1 \ left [(t ^ 2-1) t \ right] ^ 2 \ mathrm {d} t [/ math]

[math] = \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ 1 \ left [t ^ 3-t \ right] ^ 2 \ mathrm {d} t [/ math]

[math] = \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ 1 \ left (t ^ 6-2t ^ 4 + t ^ 2 \ right) \ mathrm {d} t [/ math]

[math] = 2 \ displaystyle \ int_ {0} ^ 1 \ left (t ^ 6-2t ^ 4 + t ^ 2 \ right) \ mathrm {d} t [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {16} {105} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Box [/ matemáticas]

¡Creo firmemente que los cálculos anteriores son lo suficientemente tediosos , no hay mucho pensamiento involucrado, sino solo cálculos!

Answer 3

La integral en la pregunta se puede resolver directamente expandiendo el integrando:

[matemáticas] \ displaystyle (x-1) ^ 2 (x-2) ^ 2 (x-3) ^ 2 = x ^ 6-12 x ^ 5 + 58 x ^ 4-144 x ^ 3 + 193 x ^ 2 -132 x + 36 [/ matemáticas]

Entonces uno puede integrar y evaluar el integrando expandido dentro de los límites de integración dados para obtener:

[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {\ int_1 ^ 3 (x-1) ^ 2 (x-2) ^ 2 (x-3) ^ 2 \, dx \\ = \ int_1 ^ 3 (x ^ 6-12 x ^ 5 + 58 x ^ 4-144 x ^ 3 + 193 x ^ 2-132 x + 36) \, dx \\ = \ frac {16} {105} \\ \ aprox 0.1523809523809523809523809523809523809524} [/ matemáticas]

A continuación se muestra una representación de las sumas de Riemann utilizadas para aproximar el valor de la integral (de Wolfram Alpha):

Se puede demostrar que la suma media [matemática] nth [/ matemática] de Riemann (hecha de rectángulos que dividen y aproximan la región a medir) es igual a [matemática] \ displaystyle \ frac {2 \ left (8 n ^ 6 + 147 n ^ 2-155 \ derecha)} {105 n ^ 6}. [/ Matemáticas]

Tomando el límite a medida que aumenta el número de cajas o rectángulos debajo de la curva y cuando [math] n [/ math] se acerca al infinito:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \, \ frac {2 \ left (8 n ^ 6 + 147 n ^ 2-155 \ right)} {105 n ^ 6} = \ frac {16} {105} [/ matemáticas]

El caso general con límites arbitrarios de integración, poderes arbitrarios y constantes arbitrarias se puede evaluar con Mathematica escribiendo el código:

Integrar [(x – m) ^ h * (x – n) ^ j * (x – p) ^ k, {x, a, b}]

El resultado o respuesta obtenida es:

[matemáticas] \ displaystyle \ int_a ^ b (xm) ^ h (xn) ^ j (xp) ^ k \, dx \\ = \ displaystyle \ left (\ frac {1} {h + 1} \ right) \ times \ left (- (am) ^ {h + 1} (an) ^ j (ap) ^ k \ left (\ frac {an} {mn} \ right) ^ {- j} \ left (\ frac {ap} {mp} \ right) ^ {- k} \\ \ quad \ times F_1 \ left (h + 1; -j, -k; h + 2; \ frac {ma} {mn}, \ frac {ma} { mp} \ right) \\ \ quad + (bm) ^ {h + 1} (bn) ^ j (bp) ^ k \ left (\ frac {bn} {mn} \ right) ^ {- j} \ left (\ frac {bp} {mp} \ right) ^ {- k} \\ \ quad \ times F_1 \ left (h + 1; -j, -k; h + 2; \ frac {mb} {mn}, \ frac {mb} {mp} \ right) \ right), [/ math]

donde [math] \ displaystyle F_1 \ left (a; b_1, b_2; c; x, y \ right) [/ math] es la función hipergeométrica Appell de dos variables.

El resultado general anterior viene con una serie de expresiones o declaraciones condicionales.

Answer 4

Pon x-1 = t, y resuelve.