Cómo integrar [math] \ dfrac {e ^ x} {e ^ {2x} -1} \ mathrm dx [/ math]

Answer 1

Todo trabajo y nada de juego hacen de Jack un niño aburrido. Así que juguemos un poco …

[matemáticas] \ begin {align} I & = \ int \ dfrac {e ^ x} {e ^ {2x} -1} \ mathrm dx \\ & = \ int \ dfrac {e ^ x} {(e ^ x + 1) (e ^ x-1)} \ mathrm dx \\ & = \ dfrac12 \ int \ dfrac {(e ^ x + 1) + (e ^ x-1)} {(e ^ x + 1) (e ^ x-1)} \ mathrm dx \\ & = \ dfrac12 \ left [\ int \ dfrac1 {e ^ x-1} \ mathrm dx + \ int \ dfrac1 {e ^ x + 1} \ mathrm dx \ right] \ qquad [\ text {Esto no se integra ¿verdad?]} \\ & = \ dfrac12 \ left [\ int \ dfrac {e ^ {- x}} {1-e ^ {- x}} \ mathrm dx + \ int \ dfrac {e ^ {- x}} {1 + e ^ {- x}} \ mathrm dx \ right] \ qquad [\ text {Así que hagamos que se integre}] \\ & = \ dfrac12 \ left [\ int \ dfrac {\ mathrm d (1-e ^ {- x})} {1-e ^ {- x}} + \ int \ dfrac {- \ mathrm d (1 + e ^ {- x})} {1 + e ^ {- x}} \ right] \\ & = \ dfrac12 \ ln (1-e ^ {- x}) – \ dfrac12 \ ln (1 + e ^ {- x}) + C \\ & = \ dfrac12 \ ln \ left | \ dfrac {1-e ^ {- x}} {1 + e ^ {- x}} \ right | + C \\ & = \ dfrac12 \ ln \ left | \ dfrac {e ^ x-1} {e ^ x + 1} \ right | + C \ end {align} \ tag * {} [/ math]

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El enfoque tradicional:

[matemáticas] \ begin {align} I & = \ int \ dfrac {e ^ x} {e ^ {2x} -1} \ mathrm dx \\ & = \ int \ dfrac {e ^ x} {(e ^ x) ^ 2-1} \ mathrm dx \\ & \ text {Let} u = e ^ x \ implica \ mathrm du = e ^ x \ space \ mathrm dx \\ & = \ int \ dfrac {\ mathrm du} {u ^ 2-1} \\ & = \ dfrac12 \ ln \ left | \ dfrac {u-1} {u + 1} \ right | + C \ qquad [\ text {Prueba del resultado: Izquierda como ejercicio]} \\ & = \ dfrac12 \ ln \ left | \ dfrac {e ^ x-1} {e ^ x + 1} \ right | + C \ end {align} \ tag * {} [/ math]

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Ambas respuestas son buenas 🙂

Answer 2

poner e ^ x = t

entonces x = lnt

por lo tanto dx = 1 / t * dt

entonces, la integral dada obtiene una nueva forma de la siguiente manera:

= 1 / (t ^ 2 -1) dt

= ln [(t-1) / (t + 1)] + c

pon el valor de t, obtenemos

ln [(e ^ x -1) / (e ^ x +1)] + c

Answer 3

Deje e ^ x = t.

Diferenciar wrt x

e ^ x * dx = dt

La integral dada ahora es int (1/1-t ^ 2) dt, una solución simple y luego sustituyendo t = e ^ x obtienes ln [(e ^ x-1) / (e ^ x + 1)] + c (constante).

Answer 4

[matemáticas] \ int \ frac {e ^ x} {(e ^ x) ^ 2-1} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ frac {1} {u ^ 2-1} \, du [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ frac {1} {2} \ int \ frac {2} {1-u ^ 2} \, du [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ frac {1} {2} \ int \ frac {1 + u + 1-u} {1-u ^ 2} \, du [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ frac {1} {2} \ int \ frac {1} {1-u} + \ frac {1} {1 + u} \, du [/ math]

[matemáticas] \ frac {1} {2} \ int \ frac {-1} {1-u} \, du- \ frac {1} {2} \ int \ frac {1} {1 + u} \, du [/ math]

[matemáticas] \ frac {\ ln (1-u) – \ ln (1 + u)} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {\ ln (1-e ^ x) – \ ln (1 + e ^ x)} {2} + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln \ sqrt {\ frac {1-e ^ x} {1 + e ^ x}} + C [/ matemáticas]

Answer 5

Usé dos métodos para resolver este problema.

• Sustitución
• Fracción parcial

Answer 6

Espero que conozcas algunos conceptos básicos de integración, ya que me he saltado algunos pasos básicos. Si tiene alguna duda, no dude en preguntarme. Estaremos encantados de ver algunas preguntas más sobre la integración.

Gracias 🙂

Answer 7

deja y = e ^ x

dy / dx = e ^ x = y

dx = dy / y

e ^ (2x) -1 = (e ^ x) ²-1 = (e ^ x + 1) (e ^ x-1)

I = ∫y (dy) / y (y²-1)

= ½∫2 / (y²-1) (dy) 【2 / (y + 1) (y-1) = 1 / (y-1) -1 / (y + 1)】

= ½㏑ | (e ^ x-1) / e ^ x + 1) | + C

Answer 8

Deje u = e ^ x, du = e ^ x dx para obtener du / (u ^ 2–1) que se integra fácilmente a través de fracciones parciales.