Cómo se puede probar esto depende de qué definición de la exponencial comienza. Usando una definición que he visto, esto es equivalente a mostrar [matemáticas] e ^ x> 1 + x [/ matemáticas]. Tomando el logaritmo natural (una función estrictamente creciente) de ambos lados, esto es equivalente a [matemáticas] x> \ ln (1 + x) [/ matemáticas]. Usando una definición de logaritmo natural que he visto ([matemáticas] \ ln x = \ int_ {1} ^ {x} \ frac {dt} {t} [/ matemáticas]), esto es equivalente a [matemáticas] x> \ int_ {1} ^ {1 + x} \ frac {dt} {t} [/ math] o [math] \ int_ {1} ^ {1 + x} dt> \ int_ {1} ^ {1 + x} \ frac {dt} {t} [/ math] que es bastante obvio en este punto. Pero, de nuevo, depende de la definición desde la que se parte. Hay diferentes formas de definir [matemática] e [/ matemática], [matemática] e ^ x [/ matemática] y [matemática] \ ln x [/ matemática], todas las cuales pueden mostrarse como equivalentes. Pero dependiendo de qué definición se comience, variará en cuanto a lo que se puede suponer y lo que se debe probar.
Cómo demostrar que [matemáticas] e ^ x- (1 + x)> 0 [/ matemáticas] es cierto para 0 <x <1 algebraicamente
El primer paso sería encontrar la primera y la segunda derivada:
[math] \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} e ^ {x} -x-1 = e ^ {x} -1 [/ math]
[math] \ frac {\ mathrm {d ^ {2}}} {\ mathrm {d} x ^ {2}} e ^ {x} -x-1 = e ^ {x} [/ math]
La segunda derivada siempre es positiva, por lo tanto, la función dada es cóncava hacia arriba. Eso significa que solo se debe verificar el punto más bajo para ver si es mayor que 0 en la función dada. Hacerlo requiere la primera derivada que mostré anteriormente.
Resolviendo la primera derivada para 0 yeilds:
[matemáticas] e ^ {x} -1 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] e ^ {x} = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] x = ln \ izquierda (1 \ derecha) = 0 [/ matemáticas]
Conectar x = 0 a la función original nos dice que el mínimo global es 0.
El único momento en que [matemáticas] e ^ {x} -x-1 [/ matemáticas] no es mayor que 0 es cuando x = 0. Sin embargo, su dominio es 0 ¡Espero que esto ayude!
mínimo el valor para la expresión e ^ x- (1 + x), ocurre cuando e ^ x-1 = 0, es decir, cuando x = 0, sustituyendo en la expresión original: 1- (1 + 0) = 0;
Evaluando para x, mayor que 0, evaluando la expresión original cuando x = x + deltax:
e ^ (x + deltax) – (1 + x + deltax)> 0
(e ^ x) (e ^ deltax) – (1 + x) -deltax> 0
dado que e ^ deltaX, siempre es mayor que 1, entonces (e ^ X) (e ^ deltaX) aumenta más rápido que deltaX, luego (e ^ x) (e ^ deltax) – (1 + x) -deltax aumenta en valor positivo a medida que x aumenta, lo que demuestra que
(e ^ x) – (1 + x) siempre es> 0 para cualquier valor de x mayor que 0. QED
Necesitas saber algo sobre la función exponencial.
Si lo define por una serie de potencia
e ^ x = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 +…
entonces verá que la diferencia (e ^ x-1-x) viene dada por una serie con términos positivos y, por lo tanto, es positiva.
Si no conoce la definición de e ^ x como una serie de potencia, entonces puede confiar en la propiedad de que la derivada de e ^ x es en sí misma.
De una forma u otra, necesita saber algo sobre e ^ x, porque la afirmación es falsa para 2 ^ x.
La expansión de la serie de potencia para [math] e ^ x [/ math] es
[matemáticas] e ^ x = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 3} {3!} +… = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac { x ^ n} {n!} [/ matemáticas]
entonces
[matemáticas] e ^ x- (1 + x) = \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 3} {3!} +… = \ sum_ {n = 2} ^ \ infty \ frac {x ^ n} {n!} [/ math]
Esto es obviamente cierto para todos [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas].
La serie de expansión para e ^ x es:
Como puede ver e ^ x – (1+ x) = (1/2) x ^ 2 + (1/6) x ^ 3 +… (1)
Para todo x> 0, la parte derecha de la ecuación (1) será mayor que 0.
Me gustaría usar: [matemáticas] e> (1+ \ frac {1} {x}) ^ x [/ matemáticas], y la serie [matemáticas] (1+ \ frac {1} {x}) ^ { x} [/ math] está aumentando (vea, Cómo demostrar $ (1 + 1 / x) ^ x $ aumenta cuando $ x> 0 $?).
para [matemática] x \ in (0, 1) [/ matemática], escribimos [matemática] x = \ frac {1} {t}, t> 1 [/ matemática], entonces, tenemos [matemática] e ^ x> (1+ \ frac {1} {t}) ^ {tx} = 1 + \ frac {1} {t} = 1 + x. [/ math]