¿Cuál es el último dígito de la serie [matemáticas] 1 ^ 4 + 2 ^ 4 + 3 ^ 4 + 4 ^ 4 + \ cdots + 2017 ^ 4 [/ matemáticas]?

Answer 1

Cada entero se puede mostrar como

[matemáticas] 10 * N + M [/ matemáticas] donde N y M son enteros

[matemáticas] (10 * N + M) ^ 4 = 10000 * N ^ 4 + 4 * 1000 * N ^ 3 * M + 6 * 100 ^ 2 * M ^ 2 + 10 * N * M ^ 3 + M ^ 4 [/matemáticas]

Todas las partes, excepto la de la derecha, son divisibles por 10, por lo que solo debemos centrarnos en la parte de la derecha, es decir, [matemática] M ^ 4 [/ matemática].

Según el resultado, no importa cuán grande sea el número, solo podemos centrarnos en el último dígito, por lo que debemos encontrar el último dígito de [matemáticas] 0 ^ 4 [/ matemáticas], [matemáticas] 1 ^ 4 [/ matemáticas ], [matemáticas] 2 ^ 4 [/ matemáticas],…, [matemáticas] 9 ^ 4 [/ matemáticas].

Me gustaría omitir estos cálculos aburridos, tal vez puedas descubrirlos tú mismo, ¡pruébalo!

La suma de sus últimos dígitos es 33.

Para mayor comodidad, multiplicamos 33 por 202.

Obtenemos 6666.

Y reste 6666 por [matemática] 0 ^ 4 mod (10) [/ matemática], [matemática] 9 ^ 4 mod (10) [/ matemática] y [matemática] 8 ^ 4 mod (10) [/ matemática].

Obtenemos 6659

¡La respuesta es 9!

Answer 2

Determiné todo el resultado usando una técnica de suma originada por Jakob Bernoulli (1654 (?) – 1705)

Para este problema, tenemos la suma resultante, que es la siguiente:

De hecho, el último dígito es 9.

Answer 3

Lo mejor de las preguntas del “último dígito” es que solo debe preocuparse por el último dígito de cualquier término individual de la serie. Y lo mejor de solo tener que preocuparse por el último dígito en un término es que solo tiene que preocuparse por el último dígito en la base de la exponencial.

Por lo tanto, esta pregunta no sería diferente a preguntar [matemáticas] 1 ^ 4 + 2 ^ 4 + 3 ^ 4 + \ cdots + 8 ^ 4 + 9 ^ 4 + 0 ^ 4 + 1 ^ 4 + \ cdots [/ matemáticas] para [matemáticas] 2017 [/ matemáticas] términos.

Ahora, debido a que estamos agregando muchos de los mismos términos, podemos combinar todos los términos [matemática] 1 ^ 4 [/ matemática], todos los términos [matemática] 2 ^ 4 [/ matemática], todos los [matemática] 3 ^ 4 [/ matemáticas] términos, etc. Por lo tanto, podemos evaluar

[matemáticas] 202 (1) ^ 4 + 202 (2) ^ 4 + 202 (3) ^ 4 + \ cdots + 202 (7) ^ 4 + 201 (8) ^ 4 + 201 (9) ^ 4 [/ matemáticas ]

para el último dígito.

Recuerde, solo nos importan los dígitos de las unidades, por lo que esto se simplifica a

[matemáticas] 2 (1) ^ 4 + 2 (2) ^ 4 + 2 (3) ^ 4 + 2 (4) ^ 4 + 2 (5) ^ 4 + 2 (6) ^ 4 + 2 (7) ^ 4 + 8 ^ 4 + 9 ^ 4 [/ matemáticas]

Ahora, solo evaluamos.

[matemáticas] 2 (1) ^ 4 + 2 (2) ^ 4 + 2 (3) ^ 4 + 2 (4) ^ 4 + 2 (5) ^ 4 + 2 (6) ^ 4 + 2 (7) ^ 4 + 8 ^ 4 + 9 ^ 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 2 (1) +2 (16) +2 (81) +2 (256) +2 (625) +2 (1296) +2 (2401) + 4096 + 6561 [/ matemáticas]

De nuevo, solo tomamos los últimos dígitos.

[matemáticas] \ implica 2 (1) +2 (6) +2 (1) +2 (6) +2 (5) +2 (6) +2 (1) + 6 + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 2 + 12 + 2 + 12 + 10 + 12 + 2 + 6 + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 59 [/ matemáticas]

El último dígito de esta es nuestra respuesta, entonces [matemática] 9 [/ matemática] es la respuesta.

Sí, esta no es la forma más eficiente de obtener la respuesta, pero creo que es la más fácil de explicar a las personas.

Answer 4

El último dígito de [matemáticas] 1 ^ 4 [/ matemáticas] es [matemáticas] 1. [/ Matemáticas]

El último dígito de [matemáticas] 2 ^ 4 [/ matemáticas] es [matemáticas] 6. [/ Matemáticas]

El último dígito de [matemáticas] 3 [/ matemáticas] [matemáticas] ^ 4 [/ matemáticas] es [matemáticas] 1. [/ Matemáticas]

El último dígito de [matemáticas] 4 [/ matemáticas] [matemáticas] ^ 4 [/ matemáticas] es [matemáticas] 6. [/ Matemáticas]

El último dígito de [matemática] 5 [/ matemática] [matemática] ^ 4 [/ matemática] es [matemática] 5 [/ matemática] [matemática]. [/ Matemática]

El último dígito de [matemáticas] 6 [/ matemáticas] [matemáticas] ^ 4 [/ matemáticas] es [matemáticas] 6. [/ Matemáticas]

El último dígito de [matemáticas] 7 [/ matemáticas] [matemáticas] ^ 4 [/ matemáticas] es [matemáticas] 1. [/ Matemáticas]

El último dígito de [matemáticas] 8 [/ matemáticas] [matemáticas] ^ 4 [/ matemáticas] es [matemáticas] 6. [/ Matemáticas]

El último dígito de [matemáticas] 9 [/ matemáticas] [matemáticas] ^ 4 [/ matemáticas] es [matemáticas] 1. [/ Matemáticas]

El último dígito de [matemática] 10 [/ matemática] [matemática] ^ 4 [/ matemática] es [matemática] 0. [/ Matemática]

La suma de todos los últimos dígitos hasta 10 es [matemática] 1 + 6 + 1 + 6 + 5 + 6 + 1 + 6 + 1 + 0 = [/ matemática] [matemática] 33. [/ Matemática]

Ahora, el último dígito de [matemáticas] 11 ^ 4 [/ matemáticas] o [matemáticas] 21 ^ 4 [/ matemáticas] será el mismo que el último dígito de [matemáticas] 1 ^ 4 [/ matemáticas] (comprenderá ¿Por qué si expandes binomialmente [matemáticas] 21 ^ 4 [/ matemáticas] como [matemáticas] (20 + 1) ^ 4 [/ matemáticas]).

Del mismo modo, el último dígito de [matemáticas] 12 ^ 4 [/ matemáticas] o [matemáticas] 32 [/ matemáticas] [matemáticas] ^ 4 [/ matemáticas] será el mismo que el último dígito de [matemáticas] 2 ^ 4 [/ matemática] (entenderá por qué si expande binomialmente [matemática] 32 [/ matemática] [matemática] ^ 4 [/ matemática] como [matemática] (30 + 2) ^ 4 [/ matemática]).

Entonces, la suma de los últimos dígitos para los números 1-10, 11-20, 21-30, etc. será 33.

Entonces, la suma de los últimos dígitos hasta [matemáticas] 2010 [/ matemáticas] es [matemáticas] 201 * 33 = 6633 [/ matemáticas]

Ahora, la suma de los últimos dígitos de 2011 a 2017 es [matemática] 1 + 6 + 1 + 6 + 5 + 6 + 1 = 26. [/ Matemática]

Entonces, la suma total de los últimos dígitos es = [matemática] 6633 + 26 = 6659. [/ Matemática]

El último dígito de la suma es [matemáticas] 9. [/ matemáticas]

Answer 5

9 9

Todos los números que terminan en 1 se elevan al 4to poder terminan en 1

Todos los números que terminan en 2 subidos al 4to poder terminan en 6

Todos los números que terminan en 3 subidos al 4to poder terminan en 1

Todos los números que terminan en 4 se elevan al 4to poder terminan en 6

Todos los números que terminan en 5 subidos al 4to poder terminan en 5

Todos los números que terminan en 6 subidos al 4to poder terminan en 6

Todos los números que terminan en 7 subidos al 4to poder terminan en 1

Todos los números que terminan en 8 subidos al 4to poder terminan en 6

Todos los números que terminan en 9 subidos al 4to poder terminan en 1

Todos los números que terminan en 0 subidos a la 4ta potencia terminan en 0

Si sumas todas estas terminaciones, terminas con un final de 3, por lo que cada grupo de 10 números se suma a un número que termina en 3.

Del 1 al 2010, hay 201 agrupaciones de diez, por lo que el total termina en 3.

Luego, agregue las terminaciones de los 4tos poderes de 2011–2017 y tendrá otros 6.

3 + 6 = 9.

Answer 6

la respuesta es 9

El último dígito de cada una de las primeras 10 primeras potencias es:

1, 6, 1, 6, 5, 6, 1, 6, 1 y 0.

Entonces la suma de estos 10 números es 3,

y dado que este patrón se repite para cada década de 4º potencias, se deduce que el último dígito de la suma de cada grupo de 100 4º potencias es cero, por lo tanto, la suma de los primeros 2000 4º poderes también es 0.

Así que solo los últimos 17 importan.

La suma de los 4tos poderes de 2001 a 2010 es 3, por supuesto, entonces

la suma de 2001 ^ 4 hasta 2017 ^ 4 es 3 + 1 + 6 + 1 + 6 + 5 + 6 + 1 = terminando con 9

Answer 7

Sea [matemáticas] N = 1 ^ 4 + 2 ^ 4 + 3 ^ 4 + \ cdots + 2017 ^ 4 [/ matemáticas]. Hay exactamente [matemáticas] 1009 [/ matemáticas] números impares en el conjunto [matemáticas] \ {1,2,3, \ ldots, 2017 \} [/ matemáticas], y entonces [matemáticas] N [/ matemáticas] es un suma de un número impar de números impares . Por lo tanto, [matemáticas] N [/ matemáticas] es impar .

Dado que [matemática] 5 \ mid (n ^ 4–1) [/ matemática] siempre que [matemática] 5 \ nmid n [/ matemática] y [matemática] 5 \ mid n ^ 4 [/ matemática] cada vez [matemática] 5 \ mediados de n [/ matemáticas],

[matemáticas] N \ equiv 2017- \ left \ lfloor \ dfrac {2017} {5} \ right \ rfloor = 2017–403 \ equiv 4 \ pmod {5} [/ math].

Por lo tanto, [math] N \ equiv 9 \ pmod {10} [/ math], y el último dígito es [math] 9 [/ math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 8

LD denota el último dígito (del número)

① LD {1 ^ 4 + 2 ^ 4 + 3 ^ 4 + 4 ^ 4 + 5 ^ 4 +… 9 ^ 4 + 10 ^ 4}

= LD (1 + 6 + 1 + 6 + 5 + 6 + 1 + 6 + 1 + 0)

= LD (14 + 5 + 14)

= LD (33) = 3

② LD (10a + b) ^ 4 = LD (b ^ 4) 【ej. LD (13 ^ 4) = LD (23 ^ 4)… = LD3 ^ 4】

③ LD (1 ^ 4 + 2 ^ 4 + → + 2000 ^ 4) = LLD (2000/10) 3 = LD600 = 0

④ LD {2001 ^ 4 +… 2010 ^ 4} + LD {2011 ^ 4 +… 2017 ^ 7} = 3 + LD {1 + 6 + 1 + 6 + 5 + 6 + 1} = LD {3 + 26} = LD (29) = 9

∴ GENERAL LD = 9

Answer 9

Entonces, esta pregunta es qué es [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {2017} n ^ 4 \ mod 10 [/ matemáticas]

Podemos hacer esto analíticamente sin el uso de una calculadora.

[matemáticas] f (x): = x ^ 4 \ mod 10 [/ matemáticas]

Llame a un conjunto de entrada [matemática] A [/ matemática] y llame al conjunto de salida [matemática] B = f (A) [/ matemática].

[matemáticas] A = \ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} [/ matemáticas]

Solo necesitamos conocer el mapeo de un solo dígito de [math] A \ mapsto {B} [/ math] porque todos los demás mayores que eso se repetirán.

La razón por la que repiten es porque el siguiente número después de [math] 9 [/ math] sería [math] 10 [/ math] por lo tanto [math] 10 \ equiv0 \ mod 10 [/ math], se pueden representar números mayores que diez de esta forma, [matemática] 1000a + 100b + 10c + d [/ matemática] y así sucesivamente y cuando cuadremos esto, el único número agregado que no será un múltiplo de [matemática] 10 [/ matemática] será [matemática] d ^ 2 [/ math], cuadrando esto nuevamente adquirimos [math] d ^ 4 [/ math].

Así que ahora encontraremos el conjunto de salida [matemática] B [/ matemática] analíticamente.

[matemáticas] 0 ^ 4 = 0 \ equiv 0 \ mod 10 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 ^ 4 = 1 \ equiv 1 \ mod 10 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 4 = 16 \ equiv 6 \ mod 10 [/ matemáticas]

[matemáticas] (3 ^ 2) ^ 2 = 9 ^ 2 = 81 \ equiv 1 \ mod 10 [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 ^ 2 = 16 \ equiv 6 \ mod 10 [/ matemáticas], [matemáticas] 6 ^ 2 = 36 \ equiv 6 \ mod 10 [/ matemáticas]

[matemáticas] 5 ^ 2 = 25 \ equiv 5 \ mod 10 [/ matemáticas], [matemáticas] 5 ^ 2 = 25 \ equiv 5 \ mod 10 [/ matemáticas]

[matemáticas] 6 ^ 2 = 36 \ equiv 6 \ mod 10 [/ matemáticas], [matemáticas] 6 ^ 2 = 36 \ equiv 6 \ mod 10 [/ matemáticas]

[matemáticas] 7 ^ 2 = 49 \ equiv 9 \ mod 10 [/ matemáticas], [matemáticas] 9 ^ 2 = 81 \ equiv 1 \ mod 10 [/ matemáticas]

[matemáticas] 8 ^ 2 = 64 \ equiv 4 \ mod 10 [/ matemáticas], [matemáticas] 4 ^ 2 = 16 \ equiv 6 \ mod 10 [/ matemáticas]

[matemáticas] 9 ^ 2 = 81 \ equiv 6 \ mod 10 [/ matemáticas], [matemáticas] 6 ^ 2 = 36 \ equiv 1 \ mod 10 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] B = \ {0, 1, 6, 1, 6, 5, 6, 1, 6, 1 \} [/ math]

Todos estos son valores de [matemática] f (x) [/ matemática] donde [matemática] x \ equiv n \ mod 10 [/ matemática].

Entonces, si sumamos estos últimos dígitos de cada término, obtenemos otro número que, cuando tomemos [math] \ mod 10 [/ math] de, responderemos la pregunta.

Revisaremos esta secuencia [matemática] 200 [/ matemática] veces desde [matemática] 0-2000 [/ matemática] porque [matemática] \ dfrac {2000} {| A |} = \ dfrac {2000} {10} = 200 [/ matemáticas]

[matemáticas] 200 \ displaystyle \ sum_ {p \ in {B}} p = 200 (33) = 10 (20 \ cdot33) \ equiv 0 \ mod 10 [/ math]

Entonces, ahora que sabemos esto, solo tenemos que sumar los de [matemáticas] 2000 [/ matemáticas] a [matemáticas] 2017 [/ matemáticas]

[matemáticas] 33 + 1 + 6 + 1 + 6 + 5 + 6 + 1 = 59 \ equiv 9 \ mod 10 [/ matemáticas]

Y hemos terminado, el último dígito es [matemáticas] 9 [/ matemáticas].

Answer 10

Lo primero a tener en cuenta es que [matemáticas] n ^ 4 = (n ^ 2) ^ 2 [/ matemáticas]

Por lo tanto, tenemos

[math] \ forall (n, m) \ in \ mathbb N ^ 2, n ^ 4 \ bmod m = (n ^ 2 \ bmod m) ^ 2 \ bmod m = ((n \ bmod m) ^ 2 \ bmod m) ^ 2 \ bmod m [/ matemáticas]

Esto es importante porque, sin saber nada más que los primeros tres cuadrados, podemos notar que

[matemáticas] 0 ^ 4 \ bmod 2 = (0 ^ 2 \ bmod 2) ^ 2 \ bmod 2 = 0 ^ 2 \ bmod 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 ^ 4 \ bmod 5 = (0 ^ 2 \ bmod 5) ^ 2 \ bmod 5 = 0 ^ 2 \ bmod 5 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 ^ 4 \ bmod 2 = (1 ^ 2 \ bmod 2) ^ 2 \ bmod 2 = 1 \ bmod 2 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 ^ 4 \ bmod 5 = (1 ^ 2 \ bmod 5) ^ 2 \ bmod 5 = 1 \ bmod 5 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 4 \ bmod 5 = (2 ^ 2 \ bmod 5) ^ 2 \ bmod 5 = (4 \ bmod 5) ^ 2 \ bmod 5 = (-1) ^ 2 \ bmod 5 = 1 [/ matemáticas ]

[matemáticas] \ begin {align} 3 ^ 4 \ bmod 5 & = (3 ^ 2 \ bmod 5) ^ 2 \ bmod 5 = (9 \ bmod 5) ^ 2 \ bmod 5 = (4 \ bmod 5) ^ 2 \ bmod 5 \\ & = 1 \ end {align} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} 4 ^ 4 \ bmod 5 & = ((2 ^ 2) ^ 4) \ bmod 5 = (2 ^ 4) ^ 2 \ bmod 5 = (2 ^ 4 \ bmod 5) ^ 2 \ bmod 5 = 1 ^ 2 \ bmod 5 \\ & = 1 \ end {align} [/ math]

De estos, podemos concluir que

[matemáticas] (n ^ 4 + (n + 1) ^ 4) \ bmod 2 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] (n ^ 4 + (n + 1) ^ 4 + (n + 2) ^ 4 + (n + 3) ^ 4 + (n + 4) ^ 4) \ bmod 5 = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ begin {align} (\ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {2017} n ^ 4) \ bmod 2 & = (\ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {2017} (n ^ 4 \ bmod 2)) \ bmod 2 \\ & = ((\ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {1008} 1) \ bmod 2 + (2017 ^ 4) \ bmod 2) \ bmod 2 \\ & = 1009 \ bmod 2 \\ & = 1 \ end {align} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} (\ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {2017} n ^ 4) \ bmod 5 & = (\ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {2017} (n ^ 4 \ bmod 5)) \ bmod 5 \\ & = ((\ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {403} ((5n-4) ^ 4 + (5n-3) ^ 4 + (5n-2) ^ 4 + (5n-1) ^ 4 + (5n) ^ 4) \ bmod 5) \ bmod 5 + 2016 ^ 4 \ bmod 5 + 2017 ^ 4 \ bmod 5) \ bmod 5 \\ & = ((\ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ 403 4) \ bmod 5 + 1 + 1) \\ & = (1612 \ bmod 5 + 1 + 1) \ bmod 5 \\ & = (2 + 1 + 1) \ bmod 5 \\ & = 4 \ end {align} [/ math]

[matemáticas] \ begin {cases} (\ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {2017} n ^ 4) \ bmod 2 = 1 \\ (\ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {2017} n ^ 4 ) \ bmod 5 = 4 \ end {cases} \ Leftrightarrow (\ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {2017} n ^ 4) \ bmod 10 = 9 [/ math]

El último dígito es [matemática] 9 [/ matemática]

Answer 11

7)

Los últimos dígitos de potencia de cualquier número entero (el exponente es> = 0) se repite con el período 4 a medida que aumenta el exponente. Entonces, los últimos dígitos de todas estas cuartas potencias son los mismos que los últimos dígitos de potencia cero. Por lo tanto, todos los últimos dígitos de 2017 son 1. Por lo tanto, el último dígito de su suma es 7, igual que el último dígito de 2017.

Answer 12

tenga en cuenta que [math] (n \ times 10 + m) ^ 4 \ equiv m ^ 4 \ mod 10 [/ math]

el proceso podría simplificarse a [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {2017} n ^ 4 \ equiv \ sum_ {n = 1} ^ {10} n ^ 4 \ veces 200+ \ sum_ {n = 2001} ^ {2017} n ^ 4 \ equiv \ sum_ {n = 1} ^ {17} n ^ 4 \ mod 10 [/ matemática]

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