Cómo encontrar el intervalo en el que [math] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ a} {1 + x ^ 2} dx [/ math] converge

Answer 1

Esto se puede resolver fácilmente con un contorno Keyhole

Asumamos

[matemáticas] I (a) = \ displaystyle \ int_0 ^ {\ infty} \ dfrac {x ^ a} {x ^ 2 + 1} \ mathrm dx \ tag * {} [/ matemáticas]

Ahora, usando el contorno de ojo de cerradura anterior [math] \ mathcal {C} [/ math] tendremos

[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ oint _ {\ mathcal {C}} \ dfrac {z ^ a} {z ^ 2 + 1} \, dz & = \ displaystyle \ lim_ {R \ to \ infty, \ epsilon \ to 0} \ left \ {\ displaystyle \ int_ \ epsilon ^ R \ dfrac {x ^ a} {x ^ 2 + 1} \, dx + \ displaystyle \ int_R ^ \ epsilon \ dfrac {e ^ {2i \ pi a } x ^ a} {x ^ 2 + 1} \, dx \ right \} \\\\ & \ displaystyle \ lim_ {R \ to \ infty, \ epsilon \ to 0} \ left \ {\ underbrace {\ displaystyle \ int_ {2 \ pi} ^ 0 \ dfrac {\ epsilon e ^ {ia \ delta}} {\ epsilon ^ 2 e ^ {i2 \ delta} +1} \, i \ epsilon ^ {i \ delta} \, d \ delta + \ displaystyle \ int_0 ^ {2 \ pi} \ dfrac {R ^ ae ^ {ia \ delta}} {R ^ 2e ^ {i2 \ delta}} \, iRe ^ {i \ delta} \, d \ delta} _ {= 0} \ right \} \\\\ & = (1-e ^ {i2 \ pi a}) \ displaystyle \ lim_ {R \ to \ infty, \ epsilon \ to 0} \ displaystyle \ int_ \ epsilon ^ R \ dfrac {x ^ a} {x ^ 2 + 1} \, dx \\ & = 2 \ pi i \ displaystyle \ sum_ {z = \ pm i} \ mathrm {Res} \ left \ {\ dfrac {x ^ a} {1 + x ^ 2} \ right \} \\ & = 2 \ pi i \ left \ {\ dfrac {e ^ {i \ pi a / 2}} {2i} – \ dfrac { e ^ {3i \ pi a / 2}} {2i} \ right \} \\ & = \ dfrac {\ pi} {2} \ cdot \ sec \ left (\ dfrac {\ pi a} {2} \ right ) \ end {align} \ tag * {} [/ math]

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Otro enfoque mucho más fácil sería las funciones Beta, primero observe que esta integral particular también se puede escribir como

[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ int_0 ^ {\ infty} dx \, \ dfrac {x ^ a} {x ^ 2 + 1} & = \ displaystyle \ int_0 ^ {\ pi / 2} \ tan ^ {a} x \, dx \\ & = \ displaystyle \ int_0 ^ {\ pi / 2} \ sin ^ ax \ cdot \ cos ^ {- a} x \, dx \\ & = \ dfrac {1} {2 } \ cdot \ mathcal {B} \ left \ {- \ dfrac {a} {2} + \ dfrac {1} {2}, \ dfrac {a} {2} + \ dfrac {1} {2} \ right \} ~~~~~~~~~~~ (\ text {Wallis Formula}) \\ & = \ dfrac {\ pi} {2} \ cdot \ sec \ left (\ dfrac {\ pi a} {2 } \ right) \ end {align} \ tag * {} [/ math]

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[matemáticas] {\ bbox [#FFA, 5px] {\ displaystyle \ int_0 ^ {\ infty} \ dfrac {x ^ a} {x ^ 2 + 1} \ mathrm dx = \ dfrac {\ pi} {2} \ cdot \ sec \ left (\ dfrac {\ pi a} {2} \ right)}} \ tag * {} [/ math]

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Está claro que la integral converge solo para [math] | \ Re (a) | <1 \ implica -1 <a <1 [/ math].

Answer 2

Deje que [math] c \ gt 0 [/ math] esté presente, divida la integral como:

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int_0 ^ \ infty \ dfrac {x ^ a} {1 + x ^ 2} \, dx = \ underbrace {\ displaystyle \ int_0 ^ c \ dfrac {x ^ a} {1 + x ^ 2} \, dx} _ {I_1} + \ underbrace {\ displaystyle \ int_c ^ {\ infty} \ dfrac {x ^ a} {1 + x ^ 2} \, dx} _ {I_2} [/ math]

Primero trataremos con [matemáticas] I_2 [/ matemáticas]

[matemáticas] I_2 = \ displaystyle \ int_c ^ \ infty \ dfrac {x ^ a} {1 + x ^ 2} \, dx [/ math]

Para probar la convergencia, usaré la prueba [math] \ mu [/ math] para la integral impropia de primer tipo

let [math] f (x) = \ dfrac {x ^ a} {1 + x ^ 2} [/ math], toma [math] \ mu = 2- a [/ math]

Ahora [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} x ^ {\ mu} f (x) = [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \ dfrac {x ^ 2} {1 + x ^ 2} = 1 [/ matemáticas], que es finito

entonces, mediante la prueba [math] \ mu [/ math], la integral convergerá si [math] \ mu \ gt 1 [/ math] o

[matemáticas] 2-a \ gt 1 [/ matemáticas], [matemáticas] a \ lt 1 [/ matemáticas] (1)

Ahora llegando a [matemáticas] I_1 [/ matemáticas] tenemos

[matemáticas] I_1 = \ displaystyle \ int_0 ^ c \ dfrac {x ^ a} {1 + x ^ 2} \, dx [/ matemáticas]

Para ciertos valores de a, esta integral podría quedar sin límites en [math] x = 0 [/ math]. Así que aquí usaremos la prueba [math] \ mu [/ math] para la integral impropia de segundo tipo

Esta vez toma [math] \ mu = -a [/ math]

así que ahora [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} x ^ {\ mu} f (x) = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {1} {1 + x ^ 2} = 1 [/ matemáticas], que es finito

por [math] \ mu [/ math] prueba esto convergerá si [math] 0 \ lt [/ math] [math] \ mu \ lt 1 [/ math]

o [matemáticas] a \ gt -1 [/ matemáticas] (2)

Para la convergencia de la integral [matemática] I [/ matemática], [matemática] I_1 [/ matemática] y [matemática] I_2 [/ matemática] deben converger simultáneamente, lo que implica que (1) y (2) deben mantenerse juntos

[math] \ Rightarrow [/ math] [math] -1 \ lt a \ lt 1 [/ math] para que [math] I [/ math] sea convergente

Una prueba de convergencia para integral impropia de segundo tipo

prueba de convergencia de integral impropia de primer tipo

Aunque debo decir que Siddhartha tiene un enfoque mucho más rápido y fácil que yo. Después de todo, él es mi, sensei 😛