Mi respuesta a ¿Es [matemáticas] 10 ^ {11} +3 [/ matemáticas] un número primo? es similar, así que daré el argumento más general aquí. Esto cubre ambos exponentes [matemáticas] 31 [/ matemáticas] y [matemáticas] 91 [/ matemáticas].
El divisor primo más pequeño de [matemáticas] N = 10 ^ {6k + 1} +3 [/ matemáticas] es [matemáticas] 13 [/ matemáticas]. En particular, los números de la forma [matemáticas] 10 ^ {6k + 1} +3 [/ matemáticas] no son primos .
Cada uno de [matemática] 2 [/ matemática], [matemática] 3 [/ matemática], [matemática] 5 [/ matemática] divide exactamente uno de [matemática] 10 ^ {6k + 1} [/ matemática] y [matemática] 3 [/ matemáticas]. Por lo tanto, ninguno de ellos divide [matemáticas] N [/ matemáticas].
[matemáticas] N \ equiv 3 ^ {6k + 1} +3 = \ left (\ big (3 ^ 6 \ big) ^ k \ cdot 3 \ right) +3 \ equiv 3 + 3 \ not \ equiv 0 \ pmod {7} [/ matemáticas].
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[matemática] N \ equiv (-1) ^ {6k + 1} +3 \ equiv -1 + 3 \ not \ equiv 0 \ pmod {11} [/ matemática].
[matemáticas] N \ equiv (-3) ^ {6k + 1} +3 \ equiv – \ left (\ big (3 ^ 6 \ big) ^ k \ cdot 3 \ right) +3 \ equiv 0 \ pmod {13 }[/matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]