Sin duda, es una buena y, para empezar, requiere manipulación algebraica. Podría omitir algunos pasos debido a la larga solución, pero no será difícil de seguir.
Dejar,
[matemáticas] I = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {\ log (1-x) (\ log (1 + x)) ^ 2} {x} \, dx [/ math]
Utilizaremos la identidad algebraica simple:
- ¿Cómo es [matemáticas] ([/ matemáticas] [matemáticas] -1) \ cdot (-1) = 1 [/ matemáticas]?
- ¿Cuál es la solución para [matemáticas] 3 ^ x = 3-x [/ matemáticas]?
- Suponga que tiene la ecuación infinito = senx / (2 + cosx). ¿Por qué escribirías que 2 + senx = 0? ¿Cuál es el razonamiento matemático aquí?
- Si 300-0 = 30, ¿cuál es la posible respuesta para 30-0?
- ¿Por qué la varianza de una variable aleatoria discreta es igual a la suma de [matemáticas] (x ^ 2. P (x)) – [/ matemáticas] m ^ 2?
[matemáticas] ab ^ 2 = \ dfrac {1} {6} \ izquierda [(a + b) ^ 3 + (ab) ^ 3 – 2a ^ 3 \ derecha] [/ matemáticas]
Ahora para [matemáticas] a = \ log (1-x), b = \ log (1 + x) [/ matemáticas] tenemos:
[matemáticas] a + b = \ log (1-x ^ 2) [/ matemáticas] y [matemáticas] a – b = \ log \ left (\ dfrac {1 – x} {1 + x} \ right) [/ matemáticas]
Entonces nuestra integral se puede expresar como:
[matemáticas] I = \ displaystyle \ dfrac {1} {6} \ int_ {0} ^ {1} \ left [\ underbrace {\ dfrac {\ log ^ 3 (1-x ^ 2)} {x}} _ {I_1} + \ underbrace {\ dfrac {\ log ^ 3 \ left (\ frac {1 – x} {1 + x} \ right)} {x}} _ {I_2} – 2 \ dfrac {\ log ^ 3 (1-x)} {x} \ right] dx [/ math]
Examinando [matemáticas] I_ {1} [/ matemáticas] primero. Sustituir [matemáticas] x ^ 2 = t \ implica 2xdx = dt [/ matemáticas] para observar
[matemáticas] I_ {1} = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {\ log ^ 3 (1-t)} {2t} dt [/ matemáticas]
Examinando [matemáticas] I_ {2} [/ matemáticas] ahora, sustituya [matemáticas] \ dfrac {1 – x} {1 + x} = z [/ matemáticas] para observar,
[matemáticas] \ displaystyle I_ {2} = \ int_ {1} ^ {0} \ dfrac {-1} {2} \ log ^ 3z \, dz \ dfrac {4x} {(1-z) ^ 2} = 2 \ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {\ log ^ 3z} {1-z ^ 2} \, dz [/ math]
Entonces mi integral original se convierte en:
[matemáticas] \ displaystyle I = \ dfrac {1} {3} \ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {\ log ^ 3z} {1-z ^ 2} dz – \ dfrac {1} {4} \ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {\ log ^ 3 (1-t)} {t} \, dt [/ math]
[matemáticas] \ implica \ displaystyle I = \ dfrac {1} {3} \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ int_ {0} ^ {1} z ^ {2k} \ log ^ 3z \, dz – \ dfrac {1} {4} \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ int_ {0} ^ {1} t ^ {k} \ log ^ 3t \, dt [/ math]
Modificando los límites de suma, lo escribimos como:
[matemáticas] \ displaystyle I = \ dfrac {1} {3} \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ int_ {0} ^ {1} z ^ {2k-2} \ log ^ 3z \, dz – \ dfrac {1} {4} \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ int_ {0} ^ {1} t ^ {k-1} \ log ^ 3t \, dt [/ math]
Ahora, utilizando la integración por partes tres veces para la primera integral que obtenemos,
[matemáticas] \ displaystyle I = \ dfrac {1} {3} \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ left [\ dfrac {x ^ {2k-1}} {2k-1} \ log ^ 3x – \ dfrac {x ^ {2k-1}} {(2k-1) ^ 2} 3 \ log ^ 2x + \ dfrac {x ^ {2k-1}} {(2k-1) ^ 3} 6 \ log x – 6 \ dfrac {x ^ {2k-1}} {(2k-1) ^ 4} \ right] _ {0} ^ {1} – \ dfrac {1} {4} \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ int_ {0} ^ {1} x ^ {k-1} \ log ^ 3 x \, dx [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle I = -2 \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {(2k-1) ^ 4} + \ dfrac {3} {2} \ sum_ {k = 1 } ^ {\ infty} \ dfrac {1} {k ^ 4} [/ math]
[matemáticas] \ implica I = -2 \ left (\ dfrac {\ pi ^ 4} {96} \ right) + \ dfrac {3} {2} \ left (\ dfrac {\ pi ^ 4} {90} \ derecha) [/ matemáticas]
Y finalmente llegamos
[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {\ log (1-x) (\ log (1 + x)) ^ 2} {x} \, dx = \ dfrac {- \ pi ^ 4} {240} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
Fue un problema reciente de AMM (agosto-septiembre de 2017), y definitivamente un buen desafío para la mente.
