Cómo encontrar el límite de (Cos 2x – Cos 3x) / x ^ 2 cuando x se acerca a 0

Answer 1

* A2A: –

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \ dfrac {\ cos2x- \ cos3x} {x ^ 2} [/ matemáticas]

[matemática] \ star \ text {Utilizando:} \ cos \ theta- \ cos \ phi = 2 \ sin \ left (\ dfrac {\ theta + \ phi} {2} \ right) \ sin \ left (\ dfrac {\ phi- \ theta} {2} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \ dfrac {2 \ sin \ left (\ dfrac {5x} {2} \ right) \ sin \ left (\ dfrac {x} {2} \ right) } {x ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {5} {2} \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \ dfrac {\ sin \ left (\ dfrac {5x} {2} \ right)} {\ left (\ dfrac {5x } {2} \ right)} \ times \ dfrac {\ sin \ left (\ dfrac {x} {2} \ right)} {\ left (\ dfrac {x} {2} \ right)} = \ boxed { \ boxed {\ dfrac {5} {2}}} \ quad \ left [\ porque \ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to0} \ dfrac {\ sin \ theta} {\ theta} = 1 \ right] [/ math ]

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Aquí hay otro enfoque agregado por Awnon Bhowmik 🙂

[matemáticas] \ begin {align} L & = \ lim_ \ limits {x \ to0} \ dfrac {\ cos 2x- \ cos 3x} {x ^ 2} \\ & = \ lim_ \ limits {x \ to0} \ dfrac {\ sqrt {1- \ sin ^ 22x} – \ sqrt {1- \ sin ^ 2 3x}} {x ^ 2} \ qquad [\ porque \ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x = 1] \\ & = \ lim_ \ limits {x \ to0} \ dfrac {\ sqrt {1- (2x) ^ 2} – \ sqrt {1- (3x) ^ 2}} {x ^ 2} \ qquad [\ porque \ text {For} x \ approx0, \ sin x \ approx \ tan x \ approx x] \\ & = \ lim_ \ limits {x \ to0} \ dfrac {\ sqrt {1-4x ^ 2} – \ sqrt {1-9x ^ 2 }} {x ^ 2} \ cdot \ dfrac {\ sqrt {1-4x ^ 2} + \ sqrt {1-9x ^ 2}} {\ sqrt {1-4x ^ 2} + \ sqrt {1-9x ^ 2}} \\ & = \ lim_ \ limits {x \ to0} \ dfrac {(1-4x ^ 2) – (1-9x ^ 2)} {x ^ 2 \ left (\ sqrt {1-4x ^ 2 } + \ sqrt {1-9x ^ 2} \ right)} \\ & = \ lim_ \ limits {x \ to0} \ dfrac {5x ^ 2} {x ^ 2 \ left (\ sqrt {1-4x ^ 2 } + \ sqrt {1-9x ^ 2} \ right)} \\ & = \ lim_ \ limits {x \ to0} \ dfrac {5} {\ sqrt {1-4x ^ 2} + \ sqrt {1-9x ^ 2}} \\ & = \ boxed {\ dfrac52} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

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Y sin embargo, otro enfoque 🙂

[matemáticas] \ begin {align} L & = \ lim_ \ limits {x \ to0} \ dfrac {\ cos2x- \ cos3x} {x ^ 2} \\ & = \ lim_ \ limits {x \ to0} \ dfrac {\ cos2x-1 + 1- \ cos 3x} {x ^ 2} \\ & = \ lim_ \ limits {x \ to0} \ dfrac {(1- \ cos 3x) – (1- \ cos 2x)} {x ^ 2} \\ & = \ lim_ \ limits {x \ to0} \ dfrac {2 \ sin ^ 2 \ dfrac {3x} 2} {x ^ 2} – \ dfrac {2 \ sin ^ 2x} {x ^ 2} \\ & = 2 \ left (\ lim_ \ limits {x \ to0} \ dfrac {\ sin \ dfrac {3x} 2} {x} \ right) ^ 2-2 \ left (\ lim_ \ limits {x \ to0 } \ dfrac {\ sin x} x \ right) ^ 2 \\ & = 2 \ left (\ dfrac32 \ cdot \ lim_ \ limits {x \ to0} \ dfrac {\ sin \ dfrac {3x} 2} {\ dfrac {3x} 2} \ right) ^ 2-2 \\ & = 2 \ cdot \ dfrac94-2 \\ & = \ dfrac92-2 \\ & = \ boxed {\ dfrac52} \ end {align} \ tag * { }[/matemáticas]

Answer 2

Utilice la serie Taylor [matemáticas] \ cos 2x = 1- \ frac {(2x) ^ 2} {2} + \ frac {(2x) ^ 4} {24} \ cos y, 0 \ leq y \ leq 2x [/ matemática] y lo mismo para [matemática] \ cos 3x [/ matemática], entonces el numerador se convierte en [matemática] (\ frac {9} {2} – \ frac {4} {2}) x ^ 2 + O (x ^ 4) [/ matemáticas] y la respuesta es 5/2

Answer 3

Deje f (x) = cos (2x) -cos (3x) y g (x) = x ^ 2. Entonces. Ambos tienden a 0 como x tiende a 0. Luego, según la regla de l’Hopital, f / g = f ‘/ g’ a 0. f ‘= – 2sin (2x) + 3sin (3x) y g’ = 2x. De nuevo, ambos son 0 en x = 0. Entonces, según la regla de l’Hopital f ‘/ g’ = f ” / g ” en 0. f ” = – 4cos (2x) + 9cos (3x) que es 5 en x = 0. g ” = 2 que es 2 en x = 0. Entonces, según la regla de l’Hopital, (cos (2x) -cos (3x)) / x ^ 2 => 5/2 = 2.5 en x = 0.

Answer 4

Lo he resuelto de 2 maneras.

Espero que sepas ese límite a medida que x se acerca a 0 de sin (kx) / kx = 1

1er método

2do método

si no obtienes algo pregunta en los comentarios

Answer 5

Una forma de resolverlo es usar la regla de L’Hôpital dos veces, por lo que obtendremos el límite de (Cos2x-Cos3x) / x ^ 2 = límite de (-2Sin2x + 3Sin3x) / 2x = límite de (-4Cos2x + 9Cos3x) / 2 = (- 4 + 9) /2=5/2=2.5 cuando x se acerca a 0

Answer 6

Pon x = 0 entonces,

(cos2x-cos3x) / x ^ 2 = (cos0 + cos0) / 0 ^ 2

Denominador = 0

(Cualquier cosa) / 0 = infinito

Entonces la respuesta es infinito

Answer 7

Usa la fórmula

cos x – cos y = – 2 sin ((x + y) / 2) sin ((xy) / 2).

Answer 8

Aplica la regla l’Hopital dos veces.