¿Cuáles son los ceros (con x en términos de c) de [math] \ ln (cx) = \ frac {x} {cx} [/ math]?

Primero, busquemos cuántas soluciones tiene esta ecuación, y luego las encontramos. Consideraré solo soluciones reales.

Definimos la función

[matemáticas] f (x, c) = (cx) \ ln (cx) -x [/ matemáticas]

Esta función se define para todos [math] x \ leq c [/ math]. En [matemáticas] x = c [/ matemáticas] encontramos que

[matemáticas] f (c, c) = – c [/ matemáticas]

y en [matemáticas] x = – \ infty [/ matemáticas] encontramos que

[matemáticas] f (- \ infty, c) = \ infty [/ matemáticas].

Ahora veamos si esta función tiene puntos extremos. Su derivada es

[matemáticas] \ frac {df} {dx} = – \ ln (cx) -2 [/ matemáticas].

La derivada es igual a cero en [matemáticas] x = ce ^ {- 2} [/ matemáticas]. La segunda derivada en ese punto es positiva, lo que significa que este punto es un punto mínimo. El valor de la función en este punto es

[matemáticas] f (ce ^ {- 2}, c) = – e ^ {- 2} -c [/ matemáticas].

Por lo tanto, si [math] c <-e ^ {- 2} [/ math] no hay solución, si [math] -e ^ {- 2} <c 0 [/ matemáticas] hay una solución.

Para encontrar las soluciones, reescriba la función como

[matemáticas] f (x, c) = (cx) \ ln (cx) + (cx) -c = (cx) [\ ln (cx) +1] -c = (cx) \ ln [e (cx) ] -c = e ^ {- 1} \ left \ {e (cx) \ ln [e (cx)] – ec \ right \} [/ math]

La ecuación [matemáticas] f (x, c) = 0 [/ matemáticas] es equivalente a

[matemáticas] y \ ln y = ec [/ matemáticas]

con [matemáticas] y = e (cx) [/ matemáticas].

Exponga ambos lados de la ecuación.

[matemáticas] ye ^ {y} = e ^ {ec} [/ matemáticas]

Esta es exactamente la definición de la función log-product, también conocida como la función Lambert-W:

[matemáticas] y = W (ec) [/ matemáticas].

Por lo tanto

[matemáticas] x = ce ^ {- 1} W (ec) [/ matemáticas].

La función log-product está mutuamente valorada, pero ya hemos establecido cuántas soluciones reales tiene esta ecuación.