Primero, busquemos cuántas soluciones tiene esta ecuación, y luego las encontramos. Consideraré solo soluciones reales.
Definimos la función
[matemáticas] f (x, c) = (cx) \ ln (cx) -x [/ matemáticas]
Esta función se define para todos [math] x \ leq c [/ math]. En [matemáticas] x = c [/ matemáticas] encontramos que
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[matemáticas] f (c, c) = – c [/ matemáticas]
y en [matemáticas] x = – \ infty [/ matemáticas] encontramos que
[matemáticas] f (- \ infty, c) = \ infty [/ matemáticas].
Ahora veamos si esta función tiene puntos extremos. Su derivada es
[matemáticas] \ frac {df} {dx} = – \ ln (cx) -2 [/ matemáticas].
La derivada es igual a cero en [matemáticas] x = ce ^ {- 2} [/ matemáticas]. La segunda derivada en ese punto es positiva, lo que significa que este punto es un punto mínimo. El valor de la función en este punto es
[matemáticas] f (ce ^ {- 2}, c) = – e ^ {- 2} -c [/ matemáticas].
Por lo tanto, si [math] c <-e ^ {- 2} [/ math] no hay solución, si [math] -e ^ {- 2} <c 0 [/ matemáticas] hay una solución.
Para encontrar las soluciones, reescriba la función como
[matemáticas] f (x, c) = (cx) \ ln (cx) + (cx) -c = (cx) [\ ln (cx) +1] -c = (cx) \ ln [e (cx) ] -c = e ^ {- 1} \ left \ {e (cx) \ ln [e (cx)] – ec \ right \} [/ math]
La ecuación [matemáticas] f (x, c) = 0 [/ matemáticas] es equivalente a
[matemáticas] y \ ln y = ec [/ matemáticas]
con [matemáticas] y = e (cx) [/ matemáticas].
Exponga ambos lados de la ecuación.
[matemáticas] ye ^ {y} = e ^ {ec} [/ matemáticas]
Esta es exactamente la definición de la función log-product, también conocida como la función Lambert-W:
[matemáticas] y = W (ec) [/ matemáticas].
Por lo tanto
[matemáticas] x = ce ^ {- 1} W (ec) [/ matemáticas].
La función log-product está mutuamente valorada, pero ya hemos establecido cuántas soluciones reales tiene esta ecuación.