Cómo encontrar dy / dx [e ^ sin (log natural (x ^ 2 + 7) ^ 5

Dado:

[matemáticas] y = {e ^ {\ sin \ left [{\ ln {{\ left ({{x ^ 2} + 7} \ right)} ^ 5}} \ right]}} [/ math]

Tomando logaritmos naturales en ambos lados, obtenemos

[matemáticas] \ Rightarrow \ ln y = \ sin \ left [{\ ln {{\ left ({{x ^ 2} + 7} \ right)} ^ 5}} \ right] \ ln \ left (e \ right )[/matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ ln y = \ sin \ left [{\ ln \ left ({{x ^ 2} + 7} \ right)} \ right] [/ math]

[matemáticas] \ Rightarrow \ frac {1} {y} \ frac {{dy}} {{dx}} = \ cos \ left [{5 \ ln \ left ({{x ^ 2} + 7} \ right) } \ right]. \ frac {{5 \ times 1}} {{{x ^ 2} + 7}}. 2x [/ math]

[matemáticas] \ Rightarrow \ frac {{dy}} {{dx}} = y. \ frac {{10x}} {{{x ^ 2} + 7}} \ cos \ left [{5 \ ln \ left ( {{x ^ 2} + 7} \ right)} \ right] [/ math]

[matemáticas] \ Rightarrow \ boxed {\ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {{10x {e ^ {\ sin \ left [{\ ln {{\ left ({{x ^ 2} + 7} \ right)} ^ 5}} \ right]}}}} {{{x ^ 2} + 7}} \ cos \ left [{5 \ ln \ left ({{x ^ 2} + 7} \ derecha)} \ derecha]} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ begin {align} y & = e ^ {\ sin \ left \ {\ ln (x ^ 2 + 7) ^ 5 \ right \}} \\ & = e ^ {\ sin \ left \ {\ ln (x ^ 2 + 7) ^ 5 \ right \}} \ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} \ sin \ left \ {\ ln (x ^ 2 + 7) ^ 5 \ right \} \\ & = e ^ {\ sin \ left \ {\ ln (x ^ 2 + 7) ^ 5 \ right \}} \ cos \ left \ {\ ln (x ^ 2 + 7) ^ 5 \ right \} \ dfrac { \ mathrm d} {\ mathrm dx} \ ln (x ^ 2 + 7) ^ 5 \\ & = \ dfrac {e ^ {\ sin \ left \ {\ ln (x ^ 2 + 7) ^ 5 \ right \ }} \ cos \ left \ {\ ln (x ^ 2 + 7) ^ 5 \ right \}} {(x ^ 2 + 7) ^ 5} \ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} (x ^ 2 + 7) ^ 5 \\ & = \ dfrac {5e ^ {\ sin \ left \ {\ ln (x ^ 2 + 7) ^ 5 \ right \}} \ cos \ left \ {\ ln (x ^ 2 +7) ^ 5 \ right \}} {x ^ 2 + 7} \ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} (x ^ 2 + 7) \\ & = \ bbox [2pt, borde: # 10f 2pt sólido] {\ bbox [#AFA] {\ dfrac {10xe ^ {\ sin \ left \ {\ ln (x ^ 2 + 7) ^ 5 \ right \}} \ cos \ left \ {\ ln (x ^ 2 +7) ^ 5 \ right \}} {x ^ 2 + 7}}} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Admito que podría haberlo terminado en dos pasos.