¿Cómo puede [math] (a + b + c) ^ 3-a ^ 3-b ^ 3-c ^ 3 [/ math] ser factorizado completamente?

Answer 1

Intentaré hacer esto sin expandir nada.

Tenga en cuenta que si [matemática] a + b = 0 [/ matemática], la expresión se convierte en [matemática] (- b + b + c) ^ 3 – c ^ 3 = c ^ 3 – c ^ 3 = 0. [/ Matemática ]

Por lo tanto, según la regla del factor, [math] (a + b) [/ math] es un factor de la expresión. Por simetría, vemos que de manera similar, [matemáticas] (b + c) [/ matemáticas] y [matemáticas] (c + a) [/ matemáticas] también son factores. Entonces ahora tenemos

[matemáticas] (a + b + c) ^ 3 – a ^ 3 – b ^ 3 – c ^ 3 = k (a + b) (b + c) (c + a) [/ matemáticas]

donde [math] k [/ math] es alguna otra constante o factor. Luego observamos que [math] k [/ math] debe ser una constante, ya que [math] (a + b + c) ^ 3 – a ^ 3 – b ^ 3 – c ^ 3 [/ math] y [math] (a + b) (b + c) (c + a) [/ math] ya son de tercer grado con respecto a [math] a, b [/ math] y [math] c [/ math].

Ahora, encontramos [matemáticas] k [/ matemáticas]. Encontramos el coeficiente de un cierto término – digamos, [math] abc [/ math] – de ambos lados y luego ajustamos [math] k [/ math] para que los coeficientes sean iguales. Primero encontramos el coeficiente de [math] abc [/ math] en el lado izquierdo de la ecuación.

Podemos escribir [matemáticas] (a + b + c) ^ 3 [/ matemáticas] como [matemáticas] (a + b + c) (a + b + c) (a + b + c). [/ math] Para formar un término [math] abc [/ math], podemos elegir una variable de la primera [math] (a + b + c) [/ math], otra del segundo [math] (a + b + c) [/ math] y uno final de la última [math] (a + b + c). [/ math]

Por ejemplo, podríamos elegir [matemática] a [/ matemática] de la primera [matemática] (a + b + c) [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] de la segunda y [matemática] c [ / math] de la tercera, o [math] c [/ math] de la primera, [math] a [/ math] de la segunda, y [math] b [/ math] de la última. En otras palabras, este problema se convierte en “¿de cuántas maneras podemos ordenar [matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] b [/ matemáticas] y [matemáticas] c? [/ Matemáticas]”.

Esta respuesta es [matemáticas] 3! [/ Matemáticas] o [matemáticas] 6 [/ matemáticas]. Como hay [matemáticas] 6 [/ matemáticas] formas de crear [matemáticas] abc [/ matemáticas] a partir de [matemáticas] (a + b + c) ^ 3 [/ matemáticas], el coeficiente de [matemáticas] abc [/ matemáticas ] en el LHS es [matemáticas] 6 [/ matemáticas]. Ahora, encontramos el coeficiente de [math] abc [/ math] en el RHS.

Usando el mismo método (¡pruébelo usted mismo!), Encontramos que el coeficiente de [math] abc [/ math] debe ser 2 en el RHS. Por lo tanto, [math] k [/ math] debe ser 3 para que los términos en ambos lados sean equivalentes. La forma factorizada final de [matemáticas] (a + b + c) ^ 3 – a ^ 3 – b ^ 3 – c ^ 3 [/ matemáticas] es

[matemáticas] 3 (a + b) (b + c) (c + a) [/ matemáticas]

Answer 2

Esto puede ser un poco serpenteante, pero pensé en contar la historia de cómo llegué a una solución.

Al principio no tenía ideas inteligentes, así que pensé en probar algo mecánico: multipliqué el término [matemática] (a + b + c) ^ 3 [/ matemática] y cancelé la [matemática] resultante a ^ 3, b ^ 3, [/ math] y [math] c ^ 3 [/ math] términos. Esto resulta en

[matemáticas] (a + b + c) ^ 3 – a ^ 3 – b ^ 3 – c ^ 3 = 3a ^ 2b + 3a ^ 2c + 3ab ^ 2 + 3b ^ 2c + 3bc ^ 2 + 3ac ^ 2 + 6abc [/matemáticas].

No tuve ninguna chispa de inspiración, así que seguí adelante y factoricé el 3:

[matemáticas] = 3 (a ^ 2b + a ^ 2c + ab ^ 2 + b ^ 2c + bc ^ 2 + ac ^ 2 + 2abc) [/ matemáticas]

Esto realmente no ayudó con la falta de inspiración, así que reuní los [math] c [/ math] s, esperando ver algo:

[matemáticas] = 3 ((a + b) c ^ 2 + (a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab) c + a ^ 2b + ab ^ 2) [/ matemáticas]

Entonces me di cuenta de que podemos factorizar un [math] ab [/ math] a partir de [math] a ^ 2b + ab ^ 2 [/ math] para obtener

[matemáticas] = 3 ((a + b) c ^ 2 + (a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab) c + ab (a + b)) [/ matemáticas].

Ahora hay dos [matemáticas] a + b [/ matemáticas] s. Empecé a esperar que esto pudiera ser un factor común, así que volví mi atención al medio [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab [/ matemáticas]. Una de nuestras fórmulas estándar para factorizar dice [matemáticas] (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 [/ matemáticas], por lo que en realidad tenemos un factor de [matemáticas] a + b [/ matemáticas] en el mediano plazo también. Esto parece prometedor:

[matemáticas] = 3 ((a + b) c ^ 2 + (a + b) ^ 2c + ab (a + b)) [/ matemáticas]

Factorizando el común [matemáticas] a + b [/ matemáticas], tenemos

[matemáticas] = 3 (a + b) (c ^ 2 + (a + b) c + ab) [/ matemáticas].

La expresión original era simétrica en [matemática] a, b, [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] así que esto también debería serlo. En particular, dado que tenemos un factor de [matemáticas] a + b [/ matemáticas] también deberíamos tener factores de [matemáticas] a + c [/ matemáticas] y [matemáticas] b + c [/ matemáticas]. De hecho, [matemáticas] c ^ 2 + (a + b) c + ab = (a + c) (b + c) [/ matemáticas]. En total, obtenemos

[matemáticas] (a + b + c) ^ 3 – a ^ 3 – b ^ 3 – c ^ 3 = 3 (a + b) (b + c) (a + c) [/ matemáticas].

Y la vida es buena.