Creo que la técnica en la que estás pensando es la descomposición por fracciones parciales. Cuando tiene una fracción, [matemática] \ dfrac {x} {y} [/ matemática], en la cual el denominador, y, puede factorizarse en factores [matemática] X [/ matemática] [matemática] ^ n Y ^ m [/ math] etc., entonces puedes hacer una ecuación de la forma
[matemáticas] ~~~~~ \ dfrac {x} {y} = \ dfrac {A} {X} + \ dfrac {B} {Y} + \ dfrac {C} {Y ^ 2} [/ matemáticas]
donde cada uno de los factores del denominador, [matemática] X [/ matemática] y [matemática] Y [/ matemática] en este ejemplo, aparecen hasta sus poderes en la factorización ([matemática] n [/ matemática] y [matemática ] m [/ matemáticas], respectivamente) y [matemáticas] A [/ matemáticas], [matemáticas] B [/ matemáticas], [matemáticas] C [/ matemáticas], etc. son “unidades”.
Luego, al borrar los denominadores en esta ecuación y al reunir términos similares, obtienes un conjunto de ecuaciones que puedes resolver. Este método se utiliza en cálculo para simplificar los denominadores de funciones que necesita integrar. Wikipedia tiene una buena ilustración de la técnica.
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Como sugiere su pregunta, el método también puede usarse con números racionales para descomponer una fracción en combinaciones de fracciones más simples, de una manera que podría estar relacionada con las fracciones egipcias.
En su ejemplo, 18 se factoriza en [matemáticas] 2 \ veces3 ^ 2 [/ matemáticas], por lo que establecemos
[matemáticas] ~~~~~ \ dfrac {1} {18} = \ dfrac {A} {2} + \ dfrac {B} {3} + \ dfrac {C} {3 ^ 2} [/ matemáticas]
Luego, limpiando los denominadores, obtenemos
[matemáticas] ~~~~~ 1 = 9A + 6B + 2C [/ matemáticas],
donde [matemática] A [/ matemática], [matemática] B [/ matemática], [matemática] C [/ matemática], etc. son “unidades”, es decir, 1 o -1. [Editar: A, B y C no son necesariamente 1 o -1, pero siempre se puede encontrar que es más pequeño que el factor primo del denominador en cada fracción parcial.]
En este caso, [matemática] A = 1 [/ matemática], [matemática] B = -1 [/ matemática] y [matemática] C = -1 [/ matemática] es una solución, entonces
[matemáticas] ~~~~~ \ dfrac {1} {18} = \ dfrac {1} {2} – \ dfrac {1} {3} – \ dfrac {1} {3 ^ 2} [/ matemáticas]
Si desea obtener más información, lea los ejemplos en el artículo de Wikipedia. Si tiene polinomios que necesita dividir en fracciones parciales, QuickMath tiene un buen solucionador: encuentre fracciones parciales con el solucionador de problemas matemáticos paso a paso
Si está interesado en las fracciones egipcias, puede que le guste esta calculadora de fracciones egipcias.