¿Por qué es f ( x ) = | x | ^ | x | continua en 0 si f (0) no existe? (Ref. Motor de conocimiento computacional )?
El sitio web al que se hace referencia en Wolfram Alpha es contradictorio, por lo que debe ser incorrecto.
Una función f ( x ) se define como continua en x = a , si y solo si todo lo siguiente es verdadero:
- a debe estar en el dominio de f , lo que significa que f ( a ) está definido.
- [math] \ lim_ {x \ to a} f (x) [/ math] debe existir (y + ∞ y −∞ no cuentan como existentes para este propósito).
- [matemática] \ lim_ {x \ a a} f (x) = f (a) [/ matemática], suponiendo que se mantengan los puntos 1 y 2.
El sitio web de Wolfram indica que considera que la función [math] | x | ^ {| x |} [/ math] tiene todos los números reales distintos de cero como dominio. Esto significa que se viola la propiedad 1, por lo que la función no puede ser continua en x = 0.
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Sin embargo, Wolfram Alpha declara como resultado que “[matemática] y = | x | ^ {| x |} [/ matemática] es continua en [matemática] x = 0 [/ matemática] (asumiendo una función de reales a reales)” .
Supongo que uno podría ser abogado y afirmar que Wolfram Alpha expresó explícitamente una suposición que podría no ser cierta, potencialmente invalidando la afirmación de que la función es continua en x = 0 y resolviendo lo que es solo una aparente contradicción. Sin embargo, la redacción es tal que parece tener la intención de transmitir la idea de que cuando alguien expresa una función, tiene la libertad de restringir el dominio, y el usuario de la función podría, por cualquier razón, restringir el dominio de la función a ser todos los números reales mayores que 2, excluyendo el 0 por razones que no tienen nada que ver con las propiedades matemáticas, lo que eliminaría la aparente aparente de Wolfram Alpha.
Ahora, esto indica que Wolfram Alpha tiene una contradicción entre dos declaraciones, lo que significa que al menos una de las declaraciones es incorrecta. Eso, en sí mismo, no nos dice qué afirmación, si hay alguna, es correcta. (Podría ser que la parte 1 de continuidad esté bien, haciendo que la afirmación sobre 0 no esté en el dominio errónea, pero el punto 2 falla, de modo que la función no sea continua, haciendo que la afirmación sobre continuidad sea errónea).
Entonces, ¿cuál es el estado de poder incluir 0 en el dominio de x ? En el contexto de los exponentes enteros, el principio de operación nular aplicado a la multiplicación (en cuyo caso se conoce comúnmente como la regla del producto vacío) requiere que a ⁰ = 1 para todos los números reales, complejos y de cuaternión a —sin excepciones, lo que significa 0⁰ = 1, necesariamente, en el contexto de exponentes enteros. Sin embargo, debido a que en este caso la base y el exponente son iguales, si el exponente está restringido a enteros, entonces también debe hacerlo la base, y la continuidad sobre x no puede ocurrir en ninguna parte (los límites no existen en un dominio restringido a enteros). ¿Qué hacemos para el contexto de x real entonces? Hay dos enfoques básicos. Primero, podemos argumentar que un entero 0 es un 0 real porque el conjunto de enteros y su aritmética ordinaria es un subconjunto del de los números reales, por lo que un entero 0 también es un 0. real. Por lo tanto, 0⁰ debería comportarse igual del exponente en el contexto de enteros o números reales: dado que el caso entero necesita 0⁰ = 1, el caso real también debe considerarse como 0⁰ = 1. Entonces, para la parte 2, el límite existe y tiene el valor 1, haciendo la parte 3 verdadero y la función es continua en x = 0. Con este primer enfoque, la afirmación de Wolfram Alpha acerca de que 0 no está en el dominio es incorrecta, mientras que su afirmación sobre la continuidad es correcta.
El segundo enfoque dice que hemos sabido durante casi 200 años que la aplicación de un límite como x → a a arbitrarias [matemáticas] f (x) ^ {g (x)} [/ matemáticas] para las cuales f ( x ) → 0 y g ( x ) → 0 produce un comportamiento que puede estar por todas partes (límite inexistente, o un valor límite existente que puede tomar una infinidad de valores posibles, y debido a esto 0⁰ se llama una forma indefinida en la teoría y la aplicación de límites), haciendo que la continuidad sea un problema de tal forma que quizás no deberíamos asignar un valor definido a 0⁰ en el contexto de exponentes reales, aunque 0⁰ debe ser 1 en el contexto de exponentes enteros. Adoptar este enfoque significa que 0 no puede estar en el dominio de la función (y 0⁰ no está definido), por lo que Wolfram Alpha estaría en lo correcto en esta interpretación, y que la falta de estar en el dominio invalida automáticamente la continuidad siendo viable y Wolfram Alpha es incorrecto en ese punto.
Por lo tanto, qué afirmación es correcta y cuál es incorrecta depende de su interpretación de 0⁰ en el contexto de exponentes reales. (Recuerde que 0⁰ debe considerarse como 1 en el contexto de exponentes enteros). Desde la década de 1820, la mayoría de los matemáticos han adoptado el segundo enfoque debido a problemas con la parte 2 de la definición de continuidad y los matemáticos se confunden acerca de la independencia de las partes 1 y 2 de la definición de continuidad y pensar que el fracaso de la parte 2 debe significar el fracaso de la parte 1, no así. Desde la década de 1990, un contingente creciente de matemáticos se ha dado cuenta del impacto de la regla del producto vacío, y cuántas aplicaciones discretas dependen de que 0⁰ sea considerado como 1 y que la existencia o la falta de existencia de un límite sea independiente de si una función incluye un punto particular en el dominio. Como resultado, cada vez más matemáticos consideran 0⁰ = 1 en el contexto de exponentes enteros, y un subconjunto creciente de ellos considera 0⁰ = 1 en todos los contextos.