¿Qué es [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ 0 ^ {-}} x ^ x [/ math]?

Answer 1

Deje que [matemáticas] L = \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0 ^ -} {x ^ x} = \ lim_ {x \ to 0 ^ -} {e ^ {\ log \ left (x ^ x \ right)} } = \ lim_ {x \ to 0 ^ -} {e ^ {x \ log {x}}} = e ^ {\ left [\ lim \ limits_ {x \ to 0 ^ -} {x \ log {x} } \ right]} [/ math]

Si escribimos [matemática] f (x) = \ log {x} [/ matemática] y [matemática] g (x) = \ frac {1} {x} [/ matemática] y notamos que [matemática] \ izquierda \ lvert f (x) \ right \ rvert \ to \ infty [/ math] y [math] g (x) \ to \ infty [/ math] como [math] x \ to 0 ^ – [/ math], podemos usa la regla de L’Hôpital. Observe que [math] \ log [/ math] tiene un valor complejo para [math] x <0 [/ math], pero es analítico siempre que se usen cortes de rama apropiados en los vecindarios, por lo que la regla aún puede aplicarse.

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0 ^ -} {x \ log {x}} = \ lim_ {x \ a 0 ^ -} \ frac {f (x)} {g (x)} = \ lim_ {x \ a 0 ^ -} \ frac {\ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} f (x)} {\ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} g (x)} = \ lim_ {x \ to 0 ^ -} \ frac {\ frac {1} {x}} {- \ frac {1} {x ^ 2}} = \ lim_ {x \ to 0 ^ -} -x = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ por lo tanto L = e ^ {\ left [\ lim \ limits_ {x \ to 0 ^ -} {x \ log {x}} \ right]} = e ^ 0 = \ boxed {1} [/ math ]

Answer 2

Supongamos que la función para la cual tenemos que encontrar el límite es f (x).

[matemáticas] f (x) = x ^ x [/ matemáticas]

El límite que se encuentra es el límite izquierdo. Por lo tanto, asumimos algunos valores de x más cercanos a 0 desde la izquierda de la recta numérica.

[matemáticas] x = -0.1 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = – 1.25892; [/ matemáticas]

[matemáticas] x = -0.01 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = – 1.04713; [/ matemáticas]

[matemáticas] x = -0.001 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = – 1.00693; [/ matemáticas]

[matemáticas] x = -0.0001 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = – 1.000921; [/ matemáticas]

[matemáticas] x = -0.00001 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = – 1.000115; [/ matemáticas]

…

[matemáticas] x = -0.000000001 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = – 1.000000021; [/ matemáticas]

Estos son los valores de f (x) para algunos de los valores de x. Por lo tanto, encontramos que el límite converge a -1.

Esta no es una solución general, pero da una estimación de la respuesta. Muestra que el límite no puede estar cerca de 1 según lo escrito por otros en sus respuestas.

Answer 3

Arreglar [matemáticas] x \ neq 0. [/ math] Sea [math] y = x ^ {x}. [/ math] Buscamos calcular [math] \ lim_ {x \ to 0 ^ {-}} y. [/ math] Tenga en cuenta que [math] \ ln (y) = x \ ln (x) = \ frac {\ ln (x)} {1 / x}. [/ math] Lo indeterminado de esto es de la forma [math] \ infty / \ infty [/ math] ya que [math] x [/ math] tiende a 0 desde la izquierda. L’Hopital aplica para mostrar

[matemáticas] \ lim_ {x \ to 0 ^ {-}} \ ln (y) = \ lim_ {x \ to 0 ^ {-}} \ frac {(d / dx) \ ln (x)} {(d / dx) (1 / x)} = \ lim_ {x \ a 0 ^ {-}} \ frac {1 / x} {- 1 / x ^ {2}} = – \ lim_ {x \ a 0 ^ { -}} x = 0. [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] \ lim_ {x \ a 0 ^ {-}} \ ln (y) = 0 \ implica \ lim_ {x \ to 0 ^ {-}} y = \ lim_ {x \ to 0 ^ {- }} e ^ {\ ln (y)} = e ^ {0} = 1. [/ math]

Answer 4

No hay límite.

Si [math] x <0 [/ math], la función tiene valores reales solo cuando [math] x [/ math] es racional con un denominador impar en forma reducida (o un entero ya que 1 es impar).

Entonces, a lo largo de la línea real, la función es discontinua y, por lo tanto, no tiene límite.

La función toma valores complejos para los valores reales restantes de [math] x [/ math]. Para cada [matemática] x [/ matemática], cuando el valor de la función es complejo, la función toma múltiples valores. Entonces, sin restricción a los valores principales, tampoco hay límite en el plano complejo.

Cuando elegimos una rama en particular, la función es realmente continua en el plano complejo y el límite de la magnitud de estos valores es 1, pero no podemos decir más que eso.

Answer 5

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0 ^ +} x ^ x = \ lim_ {x \ a 0 ^ +} e ^ {x ln (x)} = e ^ 0 = 1 [/ matemáticas]

let [math] x_n = – \ frac {1} {2n + 1} [/ math], podemos encontrar [math] \ lim_ {n \ to \ infty} x_n ^ {x_n} = – \ lim_ {n \ to \ infty} (\ frac {1} {2n + 1}) ^ {\ frac {1} {2n + 1}} = – 1 [/ matemáticas]

let [math] x_n = – \ frac {1} {2n} [/ math], podemos encontrar [math] x_n ^ {x_n} = (- \ frac {1} {2n}) ^ {- \ frac {1 } {2n}} = (\ frac {1} {2n} e ^ {i (2m + 1) \ pi}) ^ {- \ frac {1} {2n}} = (\ frac {1} {2n} ) ^ {- \ frac {1} {2n}} e ^ {i- \ frac {2m + 1} {2n} \ pi} [/ math], donde, [math] m \ en N [/ math]

tenga en cuenta que m puede ser cualquier número entero, supongo: [matemáticas] m = 2n [/ matemáticas]. entonces, [matemática] \ lim_ {n \ to \ infty} x_n ^ {x_n} = \ lim_ {n \ to \ infty} e ^ {i2 \ pi} = 1 [/ math]

Hay una contradicción. entonces, la limitación no existe.

Answer 6

No hay límite, ya que hay muchas raíces a medida que x se hace pequeña. En el límite puede haber un número ilimitado de raíces que rodean el plano complejo y no tienden a un solo lugar. Pero si la “raíz principal” es la que tiene el componente imaginario más pequeño, ese límite sería 1.