No. La imagen de un conjunto cerrado bajo una función continua está cerrada.
Supongamos que tenemos una función [matemática] f [/ matemática]. Podemos elegir una secuencia de valores, por ejemplo, [matemática] 2 ^ {- n – 1} [/ matemática] que converge a [matemática] 0 [/ matemática], y considerar los conjuntos [matemática] S_n [/ matemática] de puntos en [matemáticas] [a, b] [/ matemáticas] que se asignan a estos valores.
Supongamos que elegimos una secuencia (la llamaré la “secuencia restante”, por razones que serán obvias) de los elementos [math] s_r [/ math] extraídos de [math] S_r [/ math] (respectivamente en [math ] r [/ matemáticas]). Vamos a construir una secuencia de Cauchy, donde cada elemento de la nueva secuencia de Cauchy es el primer elemento restante de la secuencia restante, y la secuencia restante se reemplaza con una subsecuencia especialmente purgada.
Inicialmente, por supuesto, la secuencia restante consiste en valores que se encuentran dentro de [matemáticas] [a, b] [/ matemáticas]. Cuando seleccionamos el primer elemento, dividimos el rango en dos intervalos cerrados de tamaño medio [matemática] [a, \ frac {a + b} {2}] [/ matemática] y [matemática] [\ frac {a + b} {2}, b] [/ matemáticas]. El punto de superposición [matemática] \ frac {a + b} {2}] [/ matemática] ocurre como máximo una vez en la secuencia restante; los [math] s_r [/ math] son distintos, porque [math] f [/ math] los asignan a valores distintos. Al menos uno de estos intervalos contiene un número infinito de elementos en la secuencia restante. Elija uno de esos intervalos y reemplace la secuencia restante con la subsecuencia formada descartando el primer elemento (adjunto a la nueva secuencia de Cauchy) y cualquier elemento que no caiga en el intervalo elegido. Ahora todos los elementos en la secuencia restante se encuentran en el medio intervalo elegido, la mitad del tamaño que tenía, y la secuencia restante sigue siendo infinita.
- ¿Qué es [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ 0 ^ {-}} x ^ x [/ math]?
- Si tuviera que clasificar los temas de matemáticas del 1 al 10, de más fácil a más difícil, ¿cómo los clasificaría? (Trigonometría, Álgebra 1 y 2, Cálculo, geometría, etc.)
- ¿Cuál es la línea perpendicular a x-5y + 2 = 0 y pasa por el punto (-2,5)?
- Cómo dibujar un gráfico 2sin (2x)
- Al pensar en números masivos, como G64 o TREE (3), ¿es justo decir que 1 es aproximadamente igual a un billón?
Demostrando que la nueva secuencia es una secuencia de Cauchy, la dejo como ejercicio para el lector.
El límite de esta secuencia de Cauchy existe (es un número real), y no puede estar fuera del intervalo [matemática] [a, b] [/ matemática], porque ninguno de los elementos de la secuencia está fuera de ella, porque no elementos en el original [math] S_r [/ math] quedan fuera de él. Esto no sería cierto para [matemáticas] (a, b) [/ matemáticas], por supuesto. Por continuidad, [math] f [/ math] en este límite debe ser el límite de los valores de [math] f [/ math] en los conjuntos [math] S_r [/ math] que han contribuido a la secuencia de Cauchy. Esta es una subsecuencia de los valores originales [matemática] 2 ^ {- r – 1} [/ matemática], que son una secuencia de Cauchy que converge a [matemática] 0 [/ matemática], por lo que este límite también debe ser [matemática] 0 [/ matemáticas].
Exactamente el mismo argumento funciona para una secuencia [matemática] 1 – [/ matemática] 2 [matemática] ^ {- r – 1} [/ matemática] que converge a [matemática] 1 [/ matemática], lo que nuevamente implica una secuencia de Cauchy [ math] s_n [/ math] de miembros de [math] [a, b] [/ math] en el que [math] s_n [/ math] converge a [math] 1 [/ math].