¿Cuál es el valor mínimo de [math] \ sin x + \ sin y + \ sin z [/ math], donde [math] x, y, z \ in \ mathbb {R} [/ math] y satisface [math] x + y + z = \ pi? [/ matemáticas]

Answer 1

* A2A: –

[matemáticas] \ estrella [/ matemáticas] Bueno, utilizaré el método de multiplicadores de Lagrange para resolver el problema: –

[math] \ star [/ math] Queremos minimizar [math] \ text {f} \ left (x, y, z \ right) = \ sin x + \ sin y + \ sin z [/ math] sujeto a restricciones [ matemáticas] x + y + z = \ pi [/ matemáticas]

[math] \ star [/ math] La función Lagrange se dará como: –

[matemática] \ implica \ matemática {L} \ left (x, y, z, \ lambda \ right) = \ sin x + \ sin y + \ sin z + \ lambda \ left (x + y + z- \ pi \ right) [/matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ nabla_ {x, y, z, \ lambda} \ mathcal {L} \ left (x, y, z, \ lambda \ right) = \ left (\ cos x + \ lambda, \ cos y + \ lambda, \ cos z + \ lambda, x + y + z- \ pi \ right) = 0 [/ math]

[matemáticas] \ estrella [/ matemáticas] Obtenemos nuestras ecuaciones como: –

[matemáticas] \ begin {cases} \ cos x = – \ lambda \\\ cos y = – \ lambda \\\ cos z = – \ lambda \\ x + y + z = \ pi \ end {cases} [/ matemáticas]

[math] \ star [/ math] Resolviendo todas las ecuaciones que obtendremos: –

[math] \ implica \ boxed {\ lambda = – \ dfrac {1} {2}} [/ math]

[matemáticas] \ estrella [/ matemáticas] Ahora, tenga en cuenta que hay múltiples puntos críticos [matemáticas] \ izquierda (x, y, z \ derecha) [/ matemáticas] para esta [matemáticas] \ lambda [/ matemáticas] siempre que satisface [matemáticas] x + y + z = \ pi [/ matemáticas] debido a la naturaleza periódica de las funciones trigonométricas. Entonces, también minimice nuestra [matemática] \ text {f} \ left (x, y, z \ right) [/ math] una de esas opciones será [math] \ left (x, y, z \ right) = \ left (\ dfrac {5 \ pi} {3}, – \ dfrac {\ pi} {3}, – \ dfrac {\ pi} {3} \ right) [/ math]

[math] \ star [/ math] Por lo tanto, el valor mínimo de [math] \ text {f} \ left (x, y, z \ right) [/ math] será: –

[matemáticas] \ implica \ text {f} \ left (\ dfrac {5 \ pi} {3}, – \ dfrac {\ pi} {3}, – \ dfrac {\ pi} {3} \ right) = \ sin \ left (\ dfrac {5 \ pi} {3} \ right) + \ sin \ left (- \ dfrac {\ pi} {3} \ right) + \ sin \ left (- \ dfrac {\ pi} { 3} \ right) = \ boxed {\ boxed {- \ dfrac {3 \ sqrt {3}} {2}}} [/ math]

Answer 2

Como A, B, C no son necesariamente ángulos de un triángulo, podemos tener valores de [matemática] A, B, C [/ matemática] [matemática]> [/ matemática] [matemática] \ pi [/ matemática] y / o valores negativos, hasta que tengamos [matemáticas] A + B + C = \ pi [/ matemáticas]

El valor mínimo posible será [math] – \ dfrac {3 \ sqrt3} {2} [/ math] que se logrará cuando cada uno de Sin A, Sin B y Sin C tenga un valor de [math] – \ dfrac { \ sqrt3} {2} [/ matemáticas]

Ahora desde [matemáticas] A + B + C = \ pi [/ matemáticas] tenemos [matemáticas] C = \ pi – (A + B) [/ matemáticas]

Por lo tanto, debemos elegir [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas] de modo que [matemáticas] Sin (A) [/ matemáticas] y [matemáticas] Sin (B) [/ matemáticas] tengan un valor de [matemática] – \ dfrac {\ sqrt3} {2} [/ matemática] y [matemática] Sin (\ pi – (A + B)) [/ matemática] también tiene un valor de [matemática] – \ dfrac {\ sqrt3} {2} [/ math]

Son posibles varios valores de A y B, por ejemplo

[matemáticas] A = – \ dfrac {19 \ pi} {3} [/ matemáticas],

[matemáticas] B = \ dfrac {23 \ pi} {3} [/ matemáticas] y

[matemáticas] C = – \ dfrac {\ pi} {3} [/ matemáticas]

Del mismo modo, son posibles múltiples conjuntos de valores posibles para A, B, C

Answer 3

Se supone que A, B y C son los ángulos de un triángulo.

Queremos el valor mínimo de la función [matemática] f (A, B, C), \ = \, \ [/ matemática] [matemática] sin (A) \, + \, \ sin (B) \, + \ sin (C) \, donde \, A \, + \, B \, + \, C \, = \, \ pi [/ math].

En primer lugar, observamos que los valores que pueden tomar los ángulos A, B y C se encuentran en el conjunto abierto [matemática] \ izquierda (0 \,, \, \ pi \ derecha) [/ matemática].

[math] \ implica \ qquad \ sin (A), \, \ sin (B) \ y \ sin (C) [/ math] son ​​números reales positivos.

[matemática] \ implica \ qquad \ sin (A) \, + \, \ sin (B) \, + \ sin (C) [/ matemática] es un número real positivo.

La suma no puede ser cero ya que ninguno de estos ángulos puede tomar un valor de 0 o [matemática] \ pi [/ matemática] radianes.

Cuando dos de los tres ángulos se acercan al valor 0 simultáneamente (y, en consecuencia, el tercer ángulo se acerca a [matemática] \ pi [/ matemática]), los valores de [matemática] \ sin (A), \, \ sin (B) \ , y \ sin (C) [/ math] tienden a 0 simultáneamente.

Luego queda claro que el valor mínimo del conjunto de valores de la función f (A, B, C) es 0.

Entonces, no hay un valor mínimo de que la función [matemáticas] f (A, B, C), \ = \, \ sin (A) \, + \, \ sin (B) \, + \ sin (C) \ , donde toma \, A \, + \, B \, + \, C \, = \, \ pi [/ math]. Solo podemos decir que el valor de la función tiende a 0 pero no llega a 0.

En el caso de que A, B y C no representen los ángulos de un triángulo, entonces dos de estos tres ángulos pueden tomar el valor 0 y el tercero puede, en consecuencia, tomar ese valor [math] \ pi [/ math] y, por lo tanto, el mínimo valor de la función [matemáticas] f (A, B, C), \ = \, \ sin (A) \, + \, \ sin (B) \, + \ sin (C) \, donde \, A \ , + \, B \, + \, C \, = \, \ pi [/ math] es 0.