Si [math] f [/ math] es diferenciable en [math] (0, \ frac {\ pi} {2}) [/ math] y [math] 0 \ leq f ‘\ leq1 [/ math] por cada x , ¿cómo pruebo que existe una [matemática] x [/ matemática] en [matemática] [0, \ frac {\ pi} {2}] [/ matemática] tal que [matemática] f ‘(x) = \ sin (x) [/ math]?
Si f ‘no es continuo, tiene un problema. *
De lo contrario, si f ‘es continuo, deje que [math] g (x) = f’ (x) -sin (x) [/ math]
ahora tenemos una [matemática] g (x) [/ matemática] continua de modo que [matemática] g (0) ≥ 0 [/ matemática] y [matemática] g (\ frac {\ pi} {2}) ≤0 [ /matemáticas]
- Cómo determinar todos los rangos de convergencia posibles de la serie laurent para [matemáticas] f (z) = \ frac {1} {z ^ 4-1} [/ matemáticas]
- ¿Es [math] \ mathbb {C} [/ math] igual a [math] \ mathbb {R} ^ {2} [/ math]?
- Cómo resolver x / 5 + 1/4 = x / 2
- ¿Cuál es el valor mínimo de [math] \ sin x + \ sin y + \ sin z [/ math], donde [math] x, y, z \ in \ mathbb {R} [/ math] y satisface [math] x + y + z = \ pi? [/ matemáticas]
- Cómo calcular el valor de amortiguación a 0.3 m / s
Por el teorema del valor intermedio tenemos un punto [matemática] x_0 [/ matemática] en [matemática] [0, \ pi / 2] [/ matemática] donde [matemática] g (x_0) = 0. [/ Matemática]
Aquí [matemáticas] f ‘(x_0) = sin (x_0). [/ Matemáticas]
EDITAR:
* En realidad no tienes un problema como lo señaló Sridhar Ramesh en los comentarios. El mismo argumento intermedio funciona según el teorema de Darboux.
El teorema de Darboux es exactamente lo que necesitamos aquí: si f ‘existe en un intervalo I y [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] son puntos de este intervalo, [matemáticas] a <b [/ matemática], yy está en (f '(a), f' (b)), entonces existe x en (a, b) tal que [matemática] f '(x) = y [/ matemática].