Primero lo primero: ¿dónde apesta esta función? Ciertamente apesta a todas esas raíces de la cuarta unidad donde se obtienen las singularidades de los polos. Entonces sabemos que la serie se comporta mal en los puntos [matemática] \ {\ pm 1, \ pm i \} [/ matemática]. Encontremos la serie y su radio de convergencia acerca de [math] z = i [/ math], y te lo dejaré a ti para que hagas los otros puntos.
Usando fracciones parciales, dado que estamos en los números complejos, sabemos que podemos factorizar ese denominador por completo y obtenemos
[matemáticas] 1 = A (zi) (z + 1) (z-1) + B (z + i) (z + 1) (z-1) + C (z + i) (zi) (z-1 ) + D (z + i) (zi) (z + 1). [/matemáticas]
Podemos resolver para [matemáticas] A, B, C \ text {y} D, [/ matemáticas] descubriendo que son iguales a [matemáticas] \ frac {1} {4i}, \ frac {-1} {4i}, \ frac {-1} {4} \ text {, y} \ frac {1} {4} [/ math] respectivamente.
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En el punto [math] z = i [/ math], podemos ver a través de nuestra descomposición que
[matemáticas] f (z) = \ frac {1} {4i} \ frac {1} {z + i} + \ frac {-1} {4i} \ frac {1} {zi} + \ frac {-1 } {4} \ frac {1} {z + 1} + \ frac {1} {4} \ frac {1} {z-1} [/ math]
es holomórfico (o analítico dependiendo de dónde eres) en 3 de los sumandos, y solo en el primer sumandó observamos el comportamiento del polo. La parte principal de la serie Laurent en [math] z = i [/ math] es así
[matemáticas] \ frac {-1} {4i} \ frac {1} {zi}, [/ matemáticas]
y el radio de convergencia sobre [matemática] i [/ matemática] está determinado por qué tan grande debe ser un disco cerrado centrado en [matemática] z = i [/ matemática] para contener otra singularidad. Con un poco de trigonometría, se puede determinar que este radio es [math] \ sqrt {2} [/ math].
Gracias por leer 🙂