Creo que no hay un único método que funcione para todos los casos.
Un método que me parece interesante es construir una ecuación diferencial que se satisfaga con la función que planeas desarrollar en una serie infinita.
Una vez que tenga esta ecuación, obtendrá una relación de recurrencia [1] en los coeficientes de la serie .
Si puede resolver la ecuación de recursión, ya está.
- Si a + b + c = 0, yw es una raíz compleja de raíces cúbicas de unidad, entonces ¿puede mostrar que [matemáticas] (a + bw + cw ^ 2) ^ 3 + (a + bw ^ 2 + cw) ^ 3 = 27abc [/ matemáticas]?
- ¿Cuál es la integración de 1 / sinx + sin2x?
- Cómo resolver [math] \ displaystyle \ int \ frac {\ arcsin (x)} {x} \ dx [/ math]
- Cómo resolver la integral [matemáticas] \ int \ frac {1} {x \ sqrt {ax-x ^ 2}} dx [/ matemáticas]
- Si [math] \ frac {1} {x + 1} = 0 [/ math], ¿qué es [math] x [/ math]?
Tomemos la función exponencial [2] como un ejemplo ilustrativo.
Supongamos que [math] f (x): = e ^ {x} [/ math] admite una expansión de serie infinita (Taylor) con radio [math] R = + \ infty [/ math]:
[math] \ forall x \ in \ mathbb {R} \, f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} x ^ {n} [/ math]
Es bien sabido que [math] f = exp [/ math] resuelve el siguiente ODE: [math] f ^ {‘} (x) -f (x) = 0 [/ math] con la condición inicial [math] f ( 0) = 1 [/ matemáticas]
Al diferenciar bajo el signo de suma y reorganizar, se obtiene:
[matemáticas] a_ {0} = 1 [/ matemáticas] (por el hecho de que [matemáticas] e ^ {0} = 1 [/ matemáticas])
[math] \ forall n \ in \ mathbb {N} \, a_ {n} – (n + 1) a_ {n + 1} = 0 [/ math]
Esta relación de recurrencia se resuelve fácilmente con el término general:
[matemáticas] a_ {n} = \ frac {1} {n!} [/ matemáticas]
Pruebe este método con [math] f (x): = \ sqrt {1 + x} [/ math].
Espero que esto haya sido útil.
Notas al pie
[1] Relación de recurrencia – Wikipedia
[2] Función exponencial – Wikipedia