Cómo encontrar el coeficiente de [matemáticas] x ^ n [/ matemáticas] en cualquier serie infinita

Creo que no hay un único método que funcione para todos los casos.

Un método que me parece interesante es construir una ecuación diferencial que se satisfaga con la función que planeas desarrollar en una serie infinita.

Una vez que tenga esta ecuación, obtendrá una relación de recurrencia [1] en los coeficientes de la serie .

Si puede resolver la ecuación de recursión, ya está.

Tomemos la función exponencial [2] como un ejemplo ilustrativo.

Supongamos que [math] f (x): = e ^ {x} [/ math] admite una expansión de serie infinita (Taylor) con radio [math] R = + \ infty [/ math]:

[math] \ forall x \ in \ mathbb {R} \, f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} x ^ {n} [/ math]

Es bien sabido que [math] f = exp [/ math] resuelve el siguiente ODE: [math] f ^ {‘} (x) -f (x) = 0 [/ math] con la condición inicial [math] f ( 0) = 1 [/ matemáticas]

Al diferenciar bajo el signo de suma y reorganizar, se obtiene:

[matemáticas] a_ {0} = 1 [/ matemáticas] (por el hecho de que [matemáticas] e ^ {0} = 1 [/ matemáticas])

[math] \ forall n \ in \ mathbb {N} \, a_ {n} – (n + 1) a_ {n + 1} = 0 [/ math]

Esta relación de recurrencia se resuelve fácilmente con el término general:

[matemáticas] a_ {n} = \ frac {1} {n!} [/ matemáticas]

Pruebe este método con [math] f (x): = \ sqrt {1 + x} [/ math].

Espero que esto haya sido útil.

Notas al pie

[1] Relación de recurrencia – Wikipedia

[2] Función exponencial – Wikipedia

No son las anotaciones las que se interponen en tu camino, es entender lo que haces y lo que está escrito allí. Suponga que las series en [math] u [/ math] convergen absolutamente, por lo que no hay problema en intercambiar el orden de la suma. Entonces, lo primero que debe hacer es multiplicar y ver cuál es el coeficiente de [matemáticas] u ^ n [/ matemáticas] (ya que esto aparece como [matemáticas] n = r – k [/ matemáticas], que es lo mismo que [matemáticas] r = n + k [/ matemáticas]). Usted obtiene

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_n u ^ n \ sum_k \ binom {x} {k} \ cdot \ binom {y + n} {k + n} \ tag * {} [/ matemáticas]

por lo anterior ¡Entonces lo entiendes, simple! Sin anotaciones, comprensión.

42. Responda a todo en la Guía del autoestopista.