Si a + b + c = 0, yw es una raíz compleja de raíces cúbicas de unidad, entonces ¿puede mostrar que [matemáticas] (a + bw + cw ^ 2) ^ 3 + (a + bw ^ 2 + cw) ^ 3 = 27abc [/ matemáticas]?

Answer 1

Sea [math] X = (a + bw + cw ^ 2) [/ math] y [math] Y = (a + bw ^ 2 + cw) [/ math].

La idea clave es tener en cuenta que

[matemáticas] X ^ 3 + Y ^ 3 = (X + Y) (X + wY) (X + w ^ 2Y) [/ matemáticas] para todas las X, Y

Esto, a su vez, se deduce del uso de las raíces cúbicas de la unidad [matemáticas] (1, w, w ^ 2) [/ matemáticas] para factorizar [matemáticas] t ^ 3-1 [/ matemáticas]:

[matemáticas] t ^ 3-1 = (t-1) (tw) (tw ^ 2) [/ matemáticas]

Y luego sustituyendo [math] t = x / (- y) [/ math] en ambos lados.

Ahora, usando [matemáticas] 1 + w + w ^ 2 = 0 [/ matemáticas] (suma de raíces en [matemáticas] t ^ 3-1 = 0 [/ matemáticas] por Vietta) repetidamente, observe que:

(i) [matemáticas] X + Y = 2a-bc = 3a [/ matemáticas]

(ii) [matemáticas] X + wY = a + bw + cw ^ 2 + w (a + bw ^ 2 + cw) = a (1 + w) + b (w + 1) + 2cw ^ 2 = 3cw ^ 2 [/matemáticas]

(iii) [matemáticas] X + w ^ 2Y = a + bw + cw ^ 2 + w ^ 2 (a + bw ^ 2 + cw) = a (1 + w ^ 2) + 2bw + c (w ^ 2 + 1) = 3bw [/ matemáticas]

Multiplicando (i), (ii) y (iii), obtenemos:

[matemáticas] X ^ 3 + Y ^ 3 = (X + Y) (X + wY) (X + w ^ 2Y) = 27abcw ^ 3 = 27abc [/ matemáticas]

Answer 2

(Advertencia: mucha manipulación algebraica por delante. He hecho todo lo posible para presentar todo claramente, pero si hay formas de mejorar, ¡házmelo saber!)

Denote [math] \ omega [/ math] como una raíz cúbica de la unidad , con la condición [math] \ omega \ neq1 [/ math] . Luego satisface [math] \ omega ^ 3-1 = (\ omega-1) (\ omega ^ 2 + \ omega + 1) = 0 [/ math]. Como [math] \ omega \ neq1 [/ math], se deduce que [math] \ omega ^ 2 + \ omega + 1 = 0 [/ math]

Además, se nos da que [matemáticas] a + b + c = 0 [/ matemáticas]

Vamos a abordar el primer término primero.

[matemáticas] \ begin {array} {rl} & (a + b \ omega + c \ omega ^ 2) ^ 3 \\ = & [(a + a \ omega + a \ omega ^ 2) + ((ba) \ omega + (ca) \ omega ^ 2)] ^ 3 \\ = & ((ba) \ omega + (ca) \ omega ^ 2) ^ 3 \\ = & \ omega ^ 3 ((ba) + (ca) \ omega) ^ 3 \\ = & ((ba) + (ca) \ omega) ^ 3 \ end {array} [/ math].

De manera similar, se puede demostrar que [math] (a + b \ omega ^ 2 + c \ omega) ^ 3 = ((ca) + (ba) \ omega) ^ 3 [/ math]

Defina [math] ca = p [/ math] y [math] ba = q [/ math] para facilitar la lectura. Nuestros términos se convierten en [matemáticas] (p + q \ omega) ^ 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] (q + p \ omega) ^ 3 [/ matemáticas]. Se puede comprobar fácilmente que [matemáticas] p + q = -3a [/ matemáticas], [matemáticas] pq = cb [/ matemáticas] y [matemáticas] pq = a ^ 2 + bc-ab-ac [/ matemáticas] , que utilizaremos más adelante.

Ahora, evaluamos la expresión, haciendo uso de la factorización de una suma de cubos [matemática] x ^ 3 + y ^ 3 = (x + y) (x ^ 2-xy + y ^ 2) = (x + y) [(xy) ^ 2 + xy] [/ matemáticas].

[matemáticas] \ begin {array} {rll} & (p + q \ omega) ^ 3 + (q + p \ omega) ^ 3 \\ = & [p + q + \ omega (p + q)] [(p + q \ omega-qp \ omega) ^ 2 + (p + q \ omega) (q + p \ omega)] & \ textrm {Usando la suma de cubos} \\ = & (p + q) (1+ \ omega ) [(pq) ^ 2 (1- \ omega) ^ 2 + (pq + pq \ omega ^ 2 + q ^ 2 \ omega + p ^ 2 \ omega)] & \\ = & (p + q) (1 + \ omega) (- 3 \ omega (pq) ^ 2 + (pq (1+ \ omega ^ 2) + (q ^ 2 + p ^ 2) \ omega) & \ porque (1- \ omega) ^ 2 = -3 \ omega \\ = & (p + q) (1+ \ omega) (- 3 \ omega (pq) ^ 2 + \ omega ((pq) ^ 2 + pq)) & \\ = & – 3a ( – \ omega ^ 2) \ omega (-3 (b ^ 2-2bc + c ^ 2) + (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2-ab-bc-ca)) & \ textrm {Usando identidades para p + q, pq, pq} \\ = & 3a (-3b ^ 2 + 6bc-3c ^ 2 + a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2-ab-bc-ca + 2 (a + b + c) ^ 2) & \ porque a + b + c = 0 \\ = & 3a (3a ^ 2 + 3ab + 3ac + 9bc) & \\ = & 3a (3a (a + b + c) + 9bc) & \\ = & 27abc \ square \ end {array} [/ math]

Answer 3

Sea [math] U = a + b \ omega + c \ omega ^ 2 [/ math] y [math] V = a + b \ omega ^ 2 + c \ omega [/ math]

[matemáticas] UV = a ^ 2 + (ab + ac) \ omega + (ab + bc + ca) \ omega ^ 2 + b ^ 2 \ omega ^ 3 + c ^ 2 \ omega ^ 3 + bc \ omega ^ 4 [ /matemáticas]

[math] = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + (ab + bc + ca) (\ omega + \ omega ^ 2) [/ math] ya que [math] \ omega ^ 4 = \ omega [/ math]

[matemáticas] = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2- (ab + bc + ca) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (a + b + c) ^ 2–3 (ab + bc + ca) [/ matemáticas]

[matemáticas] = – 3 (ab + bc + ca) [/ matemáticas] ya que [matemáticas] a + b + c = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] = – 3 (a (b + c) + bc) [/ matemáticas]

[matemáticas] = – 3a ^ 2–3bc [/ matemáticas] ya que [matemáticas] b + c = -a [/ matemáticas]

[matemáticas] U ^ 3 + V ^ 3 = (U + V) ^ 3–3UV (U + V) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (3a) ^ 3–3 (-3a ^ 2–3bc) * 3a [/ matemáticas]

[matemáticas] = 27a ^ 3–27a ^ 3 + 27abc [/ matemáticas]

[matemáticas] = 27abc [/ matemáticas]

Answer 4

Empecé ansiosamente a tratar de resolver este problema con la esperanza de encontrar una solución elegante que me diera una idea de por qué esa pregunta se plantearía en primer lugar. No encontré ninguno. Entonces, lo que presento es similar al de Marcio Cohen y, aunque los sabores de nuestras soluciones son los mismos, las especias utilizadas son un poco diferentes.

Esto es como resolver una sierra de calar por la fuerza bruta. Durante mi solución, usaré lo siguiente de alguna forma.

[matemáticas] A ^ 3 + B ^ 3 = (A + B) (A ^ 2-AB + B ^ 2), w ^ 3 = 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] w ^ 2 = -w-1, [/ math] y alguna forma de [math] a + b + c = 0 [/ math]

Aquí va. Comience dejando que [math] A = a + bw + cw ^ 2 [/ math] y [math] B = a + cw + bw ^ 2. [/ Math]

Tenga en cuenta que [matemáticas] A + B = 2a + (b + c) w + (b + c) w ^ 2 = 2a + (b + c) (w + w ^ 2) = 2a + a = 3a [/ matemáticas]

Además, [matemáticas] A ^ 2 + B ^ 2 = (A + B) ^ 2-2AB = 9a ^ 2-2AB [/ matemáticas]

Pero [matemáticas] AB = (a + bw + cw ^ 2) (a + cw + bw ^ 2). [/ math] Expandiendo y esperando tener todo en una línea que tenemos,

[matemáticas] a ^ 2 + acw + abw ^ 2 + abw + bcw ^ 2 + b ^ 2w ^ 3 + acw ^ 2 + c ^ 2w ^ 3 + bcw ^ 4
= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + (ab + bc + ca) w + (ab + bc + ca) w ^ 2
= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + (ab + bc + ca) (w + w ^ 2)
= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2- (ab + bc + ca)
= a ^ 2 + b ^ 2 + (a + b) ^ 2-ab + (a + b) ^ 2
= 3a ^ 2 + 3b ^ 2 + 3ab [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] A ^ 2-AB + B ^ 2 = 9a ^ 2-9a ^ 2-9b ^ 2-9ab = -9b ^ 2-9ab. [/ Matemáticas]

Entonces la expresión es [matemáticas] 3a (-9b ^ 2-9ab) = – 27 (ab) (a + b) = 27abc. [/ Matemáticas]