¿Cómo resuelvo esto sin saber que [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]: [matemáticas] \ dfrac {8 ^ x + 27 ^ x} {12 ^ x + 18 ^ x} = \ dfrac76 [/ matemáticas]?

Answer 1

Esta respuesta no es realmente diferente de las otras tres publicadas, solo un poco más compacta. También voy a suponer [math] x \ in \ mathbb R [/ math] .

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Aplicando la factorización [matemática] a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ^ 3–3ab (a + b) [/ matemática] con [matemática] a = 2 ^ x [/ matemática] y [matemática] b = 3 ^ x [/ matemáticas], tenemos

[matemáticas] \ dfrac {7} {6} = \ dfrac {8 ^ x + 27 ^ x} {12 ^ x + 18 ^ x} = \ dfrac {(a + b) ^ 3–3ab (a + b) } {ab (a + b)} = \ dfrac {(a + b) ^ 2–3ab} {ab} [/ math].

Agregar [matemáticas] 3 [/ matemáticas] a ambos lados da

[matemáticas] \ dfrac {(a + b) ^ 2} {ab} = \ dfrac {25} {6} [/ matemáticas].

Por lo tanto, [matemática] 6a ^ 2–13ab + 6b ^ 2 = 0 [/ matemática] o [matemática] (3a-2b) (2a-3b) = 0 [/ matemática]. Por lo tanto

[matemática] \ left (\ dfrac {2} {3} \ right) ^ x = \ dfrac {a} {b} = \ dfrac {2} {3} [/ math] o [math] \ dfrac {3} {2} [/ matemáticas],

dando las soluciones [matemáticas] x = \ pm 1 [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

En realidad, [matemáticas] x = \ pm 1 [/ matemáticas]. Veamos por qué …

Dado: [matemáticas] \ dfrac {8 ^ x + 27 ^ x} {12 ^ x + 18 ^ x} = \ dfrac {7} {6} [/ matemáticas]

Multiplicación cruzada y búsqueda de bases comunes:

[matemáticas] 6 \ times ((2 ^ 3) ^ x + (3 ^ 3) ^ x) = 7 \ times ((2 ^ 2 \ times 3) ^ x + (3 ^ 2 \ times 2) ^ x) [/ matemáticas]

Distribuidores exponentes:

[matemáticas] 6 (2 ^ {3x} + 3 ^ {3x}) = 7 (2 ^ {2x} \ veces 3 ^ x + 3 ^ {2x} \ veces 2 ^ x) [/ matemáticas]

Factorizando [matemática] 2 ^ x [/ matemática] y [matemática] 3 ^ x [/ matemática] en el RHS:

[matemáticas] 6 (2 ^ {3x} + 3 ^ {3x}) = 7 \ veces 2 ^ x \ veces 3 ^ x (2 ^ {x} + 3 ^ {x}) [/ matemáticas]

[matemáticas] 6 (2 ^ {3x} + 3 ^ {3x}) = 7 \ veces (2 \ veces3) ^ x (2 ^ {x} + 3 ^ {x}) [/ matemáticas]

[matemáticas] 6 (2 ^ {3x} + 3 ^ {3x}) = 7 \ veces 6 ^ x (2 ^ {x} + 3 ^ {x}) [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ {3x} + 3 ^ {3x} = 7 \ veces 6 ^ {x-1} (2 ^ {x} + 3 ^ {x}) [/ matemáticas]

Factorizando el LHS como una suma de cubos:

[matemáticas] (2 ^ {x} + 3 ^ {x}) (2 ^ {2x} + 3 ^ {2x} – (2 \ por 3) ^ x) = 7 \ por 6 ^ {x-1} ( 2 ^ {x} + 3 ^ {x}) [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ {2x} + 3 ^ {2x} -6 ^ x = 7 \ veces 6 ^ {x-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ {2x} + 3 ^ {2x} = 13 \ veces 6 ^ {x-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ {2x} + 3 ^ {2x} = \ dfrac {13} {6} \ veces 6 ^ {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {2 ^ {2x} + 3 ^ {2x}} {6 ^ x} = \ dfrac {13} {6} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {2 ^ {2x} + 3 ^ {2x}} {2 ^ x \ times 3 ^ x} = \ dfrac {13} {6} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {2 ^ {2x}} {2 ^ x \ veces 3 ^ x} + \ dfrac {3 ^ {2x}} {2 ^ x \ veces 3 ^ x} = \ dfrac {13} {6 }[/matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {2 ^ {x}} {3 ^ x} + \ dfrac {3 ^ {x}} {2 ^ x} = \ dfrac {13} {6} [/ matemáticas]

[matemática] \ left (\ dfrac {2} {3} \ right) ^ x + \ left (\ dfrac {3} {2} \ right) ^ x = \ dfrac {13} {6} [/ math]

[matemáticas] \ left (\ dfrac {2} {3} \ right) ^ x + \ left (\ dfrac {2} {3} \ right) ^ {- x} = \ dfrac {13} {6} [/ math ]

Multiplicar por [matemáticas] \ left (\ dfrac {2} {3} \ right) ^ x [/ math]:

[matemáticas] \ left (\ dfrac {2} {3} \ right) ^ {2x} + 1 = \ dfrac {13} {6} \ times \ left (\ dfrac {2} {3} \ right) ^ x [/matemáticas]

Mover todos los términos a un lado:

[matemáticas] \ left (\ dfrac {2} {3} \ right) ^ {2x} – \ dfrac {13} {6} \ times \ left (\ dfrac {2} {3} \ right) ^ x + 1 = 0 [/ matemáticas]

Factorización:

[matemáticas] \ left (\ left (\ dfrac {2} {3} \ right) ^ x- \ dfrac {2} {3} \ right) \ left (\ left (\ dfrac {2} {3} \ right ) ^ x- \ dfrac {3} {2} \ right) = 0 [/ math]

Establecer cada factor igual a [matemática] 0 [/ matemática] individualmente y resolver:

[matemática] \ left (\ dfrac {2} {3} \ right) ^ x- \ dfrac {2} {3} = 0 [/ math]

[matemáticas] \ left (\ dfrac {2} {3} \ right) ^ x = \ dfrac {2} {3} [/ math]

Así [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]

También [math] \ left (\ dfrac {2} {3} \ right) ^ x- \ dfrac {3} {2} = 0 [/ math]

[matemáticas] \ left (\ dfrac {2} {3} \ right) ^ x = \ dfrac {3} {2} [/ math]

[matemática] \ left (\ dfrac {2} {3} \ right) ^ x = \ left (\ dfrac {2} {3} \ right) ^ {- 1} [/ math]

Así [matemáticas] x = -1 [/ matemáticas]

Entonces, no solo hace [math] x = 1 [/ math], sino que [math] x = -1 [/ math] también.

¡Espero que esto ayude!

Answer 3

(8 ^ x + 27 ^ x) / (12 ^ x + 18 ^ x) = 7/6

(2 ^ 3x + 3 ^ 3x) / 6 ^ x (2 ^ x + 3 ^ x) = 7/6

(2 ^ x + 3 ^ x) (2 ^ 2x + 3 ^ 2x -6 ^ x) / 6 ^ x (2 ^ x + 3 ^ x) = 7/6

Cancelando (2 ^ x + 3 ^ x)

(2 ^ 2x + 3 ^ 2x -6 ^ x) / 6 ^ x = 7/6

Comparando el denominador en L.HS y RH S ie

Comparando 6 ^ x y 6 ^ 1

Obtenemos

x = 1

Answer 4

[matemáticas] \ text {Observe cómo} \ frac {8 ^ x + 27 ^ x} {12 ^ x + 18 ^ x} = \ frac {(2 ^ x + 3 ^ x) (4 ^ x-6 ^ x + 9 ^ x)} {6 ^ x (2 ^ x + 3 ^ x)} = \ frac {4 ^ x-6 ^ x + 9 ^ x} {6 ^ x} \\\\ [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {4 ^ x-6 ^ x + 9 ^ x} {6 ^ x} = \ frac {7} {6} [/ matemáticas]

[matemática] \ left (\ frac {2} {3} \ right) ^ x-1 + \ left (\ frac {3} {2} \ right) ^ x = \ frac {7} {6} [/ math ]

[matemática] \ left (\ frac {2} {3} \ right) ^ x + \ left (\ frac {2} {3} \ right) ^ {- x} = \ frac {13} {6} [/ math ]

[matemáticas] \ hspace {6ex} \ text {let} y = \ left (\ frac {2} {3} \ right) ^ x [/ math]

[matemáticas] y + y ^ {- 1} = \ frac {13} {6} [/ matemáticas]

[matemáticas] y ^ 2- \ frac {13} {6} y + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ left (y- \ frac {2} {3} \ right) \ left (y- \ frac {3} {2} \ right) = 0 [/ math]

[matemáticas] y = \ frac {2} {3}, \ frac {3} {2} [/ matemáticas]

[matemática] \ left (\ frac {2} {3} \ right) ^ x = \ frac {2} {3} \ hspace {6ex} \ por lo tanto x = +1 [/ math]

[matemática] \ izquierda (\ frac {2} {3} \ derecha) ^ x = \ frac {3} {2} \ hspace {6ex} \ por lo tanto x = -1 [/ matemática]

[matemáticas] \ hspace {6ex} \ boxed {x = \ pm1} [/ math]