Cómo demostrar que [math] \ displaystyle \ sum_ {r = 1} ^ {2n} \ cos r \ theta = 0 [/ math] para [math] \ theta = \ dfrac {\ pi} {n} [/ math ] y [matemáticas] n [/ matemáticas] es un entero positivo

Answer 1

Los problemas que involucran funciones trigonométricas a menudo se vuelven mucho más simples cuando se usan exponenciales complejos. Este problema está firmemente en ese grupo.

Reescribamos la suma como la parte real de una suma de poderes de z = [matemáticas] e ^ {i \ theta} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sum_ {r = 1} ^ {2n} \ cos r \ theta = \ Re \ sum_ {r = 1} ^ {2n} z ^ r [/ matemáticas]

Al mostrar que la suma compleja a la derecha es cero, mostramos que la suma inicial también es cero.

Usando la fórmula estándar para sumas de poderes:

[matemáticas] \ sum_ {r = 1} ^ {2n} z ^ r = z \ left (\ frac {z ^ {2n} -1} {z-1} \ right) [/ math]

Y la identidad de Euler:

[matemáticas] z ^ {2n} = e ^ {i2 \ pi} = 1 [/ matemáticas]

Vemos que el numerador de la suma desaparece y [math] \ sum_ {r = 1} ^ {2n} \ cos r \ theta = 0 [/ math]

Answer 2

Cuando ve un problema como este, un buen primer instinto es conectar los valores para ver cuál es el patrón general. Subamos primero en [math] \ theta = \ frac {\ pi} {n} [/ math] en la serie.

[matemática] \ displaystyle \ sum_ {r = 1} ^ {2n} \ cos \ left (r \ frac {\ pi} {n} \ right) [/ math].

Definitivamente, este será un problema relacionado con la periodicidad de la función coseno, y lo más importante, el hecho de que [math] \ cos (\ theta) = – \ cos (\ theta + \ pi) [/ math]. Escribamos ahora algunos términos de la suma:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {r = 1} ^ {2n} \ cos \ left (r \ frac {\ pi} {n} \ right) = \ cos \ left (\ frac {\ pi} {n} \ derecha) + \ cos \ left (\ frac {2 \ pi} {n} \ right) +… + \ cos \ left (\ frac {n \ pi} {n} \ right) + \ cos \ left (\ frac {(n + 1) \ pi} {n} \ right) +… + \ cos \ left (\ frac {(2n – 1) \ pi} {n} \ right) + \ cos \ left (\ frac {2n \ pi} {n} \ right) [/ math].

¡Podemos ver que algunos de los términos ya se cancelan! Los ángulos de [math] \ cos \ left (\ frac {n \ pi} {n} \ right) [/ math] es decir [math] \ cos (\ pi) [/ math] y [math] \ cos \ left (\ frac {2n \ pi} {n} \ right) [/ math] es decir, [math] \ cos (2 \ pi) [/ math] están separadas exactamente por [math] \ pi [/ math]. Más claramente [matemáticas] 1 + (-1) = 0 [/ matemáticas]. En términos más generales, para cada uno de los términos de [matemática] r = 1 [/ matemática] a [matemática] r = n [/ matemática], el término [matemática] (r + n) [/ matemática] será el opuesto valor del término [math] r [/ math] th. En este caso, los términos [matemática] n [/ matemática] y [matemática] (n + n) [/ matemática] son ​​-1 y 1 respectivamente.

¿Por qué es esto cierto en general? Si

[matemáticas] a_r = \ cos \ left (r \ frac {\ pi} {n} \ right) [/ math]

entonces

[matemáticas] a_ {r + n} = \ cos \ left [(r + n) \ frac {\ pi} {n} \ right] = \ cos \ left (r \ frac {\ pi} {n} + \ pi \ right) = -a_ {r} [/ math].

Por lo tanto, [math] a_r + a_ {r + n} = a_r – a_r = 0 [/ math] y la declaración original está probada.

Answer 3

[matemáticas] \ sum_ {r = 1} ^ {2n} \ cos (r \ theta) = \ frac {1} {2 \ sin \ frac {\ theta} {2}} \ sum_ {r = 1} ^ { 2n} 2 \ cos (r \ theta) \ sin \ frac {\ theta} {2} = [/ math]

[matemáticas] = \ frac {1} {2 \ sin \ frac {r \ theta} {2}} \ sum_ {r = 1} ^ {2n} (\ sin (r + \ frac {1} {2}) \ theta- \ sin (r- \ frac {1} {2}) \ theta) = [/ math]

Vea que todos los términos, excepto el primero y el último, se cancelen.

[matemáticas] = \ frac {\ sin (2n + \ frac {1} {2}) \ theta- \ sin \ frac {1} {2} \ theta} {2 \ sin \ frac {r \ theta} {2} } = 0 \ mbox {como} 2n \ theta = 2 \ pi [/ math]

Answer 4

Un método es la prueba por inducción:

Paso 1: base de inducción

[matemáticas] k = 1: \ sum_ {r = 1} ^ {2} \ cos (r \ theta) = \ cos (\ pi) + \ cos (2 \ pi) = -1 + 1 = 0 [/ matemáticas ]

Paso 2: hipótesis de inducción

[matemáticas] k = n: \ sum_ {r = 1} ^ {2n} \ cos (r \ theta) = 0 [/ matemáticas]

Paso 3: Paso de inducción

[matemáticas] k = n + 1: \ sum_ {r = 1} ^ {2n + 2} \ cos (r \ theta) = \ sum_ {r = 1} ^ {2n} \ cos (r \ theta) + \ cos (\ dfrac {(2n + 1) \ pi} {n}) + \ cos (\ dfrac {(2n + 2) \ pi} {n}) = 0 + (-1) + 1 = 0 [/ matemática ]

Answer 5

Piensa en el período de la función coseno real.

Answer 6

Por cada [matemática] k [/ matemática] en el rango, [matemática] \ cos \ left ({\ dfrac {{(n + k) \ pi}} {n}} \ right) = \ cos \ left ({\ pi + \ dfrac {{k \ pi}} {n}} \ right) = – \ cos \ left ({\ dfrac {{k \ pi}} {n}} \ right) [/ math]

La suma es [matemáticas] 0 [/ matemáticas].