Cómo resolver la ecuación logarítmica log_3 (x ^ 3 + 54) = 4 y expresar todas las soluciones en sus formas exactas

Answer 1

[matemáticas] \ log_ {3} (x ^ 3 + 54) = 4 [/ matemáticas]

Queremos eliminar primero el logaritmo, así que eleva 3 a la potencia de cada lado.

[matemáticas] 3 ^ {\ log_ {3} (x ^ 3 + 54)} = 3 ^ 4 [/ matemáticas]

Ahora simplifica y resuelve para x.

[matemáticas] x ^ 3 + 54 = 81 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 = 27 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 3 [/ matemáticas]

Editar: Vaya, olvidé incluir las soluciones complejas. Un par de otras respuestas mostraron cómo derivarlas, pero yo también podría hacerlo.

Retroceda a donde había llegado a [matemáticas] x ^ 3 = 27 [/ matemáticas].

Mueva [math] 27 [/ math] al otro lado para que tengamos [math] x ^ 3 – 27 = 0 [/ math].

Esta ecuación se puede factorizar a [matemáticas] (x – 3) (x ^ {2} + 3x + 9) = 0. [/ Matemáticas]

Ahora, todavía es obvio que [math] 3 [/ math] es una solución. Para encontrar las otras dos soluciones, aplique la fórmula cuadrática a [matemáticas] (x ^ {2} + 3x + 9) [/ matemáticas].

[matemáticas] x = \ frac {-3 \ pm \ sqrt {3 ^ {2} -4 (1) (9)}} {2} = \ frac {-3 \ pm \ sqrt {-27}} {2 } = \ frac {-3 \ pm3i \ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

Answer 2

Recordemos lo siguiente:

[math] log_a (x) = y [/ math] es lo mismo que [math] a ^ y = x [/ math]

Entonces, ¿cómo se relaciona esto con el problema dado? Bueno, echemos un vistazo.

[matemáticas] log_3 (x ^ 3 + 54) = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 + 54 = 3 ^ 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 + 54 = 81 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3-27 = 0 [/ matemáticas]

Desde aquí, podría tomar la ruta fácil y decir [matemáticas] x = 3 [/ matemáticas]; sin embargo, un cúbico tiene tres raíces, lo que significa que tenemos que ir a buscar las dos raíces complejas. Esto debería ser fácil ya que tanto [math] x ^ 3 [/ math] como [math] 27 [/ math] son ​​cubos perfectos, por lo que podemos utilizar lo siguiente.

[matemáticas] x ^ 3-27 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3-3 ^ 3 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x-3) (x ^ 2 + 3x + 9) = 0 [/ matemáticas]

Aquí podemos ver claramente que [matemáticas] x = 3 [/ matemáticas] es una solución. Para encontrar los otros dos, usamos la fórmula cuadrática.

[matemáticas] x = \ dfrac {-3 \ pm \ sqrt {9-4 (1) (9)}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ dfrac {-3 \ pm \ sqrt {-27}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ dfrac {-3 \ pm3i \ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

Y así, tenemos las tres soluciones que satisfacen [matemáticas] log_3 (x ^ 3 + 54) = 4 [/ matemáticas]:

[matemáticas] x = 3, \ dfrac {-3 + 3i \ sqrt {3}} {2}, \ dfrac {-3-3i \ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

Answer 3

[matemáticas] \ log_3 (x ^ 3 + 54) = 4 [/ matemáticas],

entonces

[matemáticas] x ^ 3 + 54 = 3 ^ 4 = 81 [/ matemáticas],

y por lo tanto

[matemáticas] x ^ 3 = 27 [/ matemáticas].

Por lo tanto

[matemáticas] x = 3 [/ matemáticas]

(si no consideramos las otras 2 raíces complejas, [matemáticas] 3 (-1/2 \ pm i \ sqrt {3} / 2) [/ matemáticas]).

Answer 4

Esperemos que sepa que los registros y los exponenciales son inversos y que a ^ x = b equivale a log_a (b) = x

Entonces, cambiar el registro a un exponencial da 3 ^ 4 = x ^ 3 + 54

El resto está en la foto adjunta.

También esto es solo en el plano real

Espero que esto ayude 🙂

(Perdón por la terrible letra)

Answer 5

Usando la definición de log:

[matemáticas] x ^ 3 + 54 = 3 ^ 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 = 81–54 = 27 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 3 [/ matemáticas]

Answer 6

3 ^ (log_3 (x ^ 3 + 54)) = 3 ^ 4 (la igualdad sigue siendo válida ya que f (u) = 3 ^ u es inyectiva.

x ^ 3 + 54 = 81

x ^ 3 = 27