¿Cuál será la integración de [math] \ dfrac {x} {logx} [/ math]?

Answer 1

Evaluar:

[matemáticas] \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle \ int \ frac {x} {\ log x} \, dx [/ math]

[math] \ large \ displaystyle \ star [/ math] Es un ejemplo muy común de una función no integrable.

“I” no puede representarse en términos de funciones elementales.

Sin embargo, se puede determinar usando la integral exponencial [math] \ large \ displaystyle (E_i (x)) [/ math]

Considerar:

[math] \ implica \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle \ int \ frac {x} {\ log x} \, dx [/ math]

Sustituir: [math] \ large \ displaystyle t = \ large \ displaystyle \ log x [/ math]

[math] \ implica \ large \ displaystyle x = \ large \ displaystyle e ^ t [/ math]

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle dx = \ large \ displaystyle e ^ t dt [/ math]

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle \ int \ frac {e ^ {2t}} {t} \, dt [/ math]

Sustituir: [math] \ large \ displaystyle 2t = \ large \ displaystyle u [/ math]

[math] \ implica \ large \ displaystyle 2dt = \ large \ displaystyle du [/ math]

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle \ underbrace {\ displaystyle \ int \ frac {e ^ {u}} {u} \, du} _ {\ displaystyle E_i (u)} [/ math ]

Ahora, usando la integral exponencial, podemos escribir

[matemáticas] \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle E_i (u) + c [/ math]

Convirtiendo nuevamente a la variable original,

[math] \ implica \ large \ displaystyle I = \ large \ displaystyle E_i (2t) + c [/ math]

Un paso mas.

[math] \ implica \ large \ displaystyle \ boxed {I = \ large \ displaystyle E_i (2 \ log (x)) + C} [/ math]

¡Hecho!

[matemáticas] {\ Enorme {\ Enorme {\ displaystyle \ ddot \ smile}}} [/ matemática]

Answer 2

1. deja que la integral sea yo;
2. luego integrando por partes tomando la regla ILATE;
3. la primera función es (1 / log (x)) yx como segunda función;
4. I = (1 / log (x)) * int (x) -int (int ((d / dx) 1 / log (x) * int (x)));
5. I = ((x / log (x)) ^ 2) -int (- (1 / x) * (x ^ 2) / 2);
6. I = E (a) + ((x ^ 2) / 4) + c;
7. I = ((x / log (x)) ^ 2) + ((x ^ 2) / 4) + c.