Cómo calcular el valor de 5 ^ 0.25, 3 ^ 0.5 y 4 ^ 0.33 sin el uso de una calculadora

Answer 1

Podrías usar el método Newton-Raphson.

[matemáticas] 5 ^ {0.25} = x [/ matemáticas]

[matemática] \ izquierda (5 ^ {0.25} \ derecha) ^ 4 = x ^ 4 [/ matemática]

[matemáticas] 5 = x ^ 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 4 – 5 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = x ^ 4 – 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = 4x ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n – \ dfrac {f (x_n)} {f ‘(x_n)} [/ matemáticas]

[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n – \ dfrac {(x_n) ^ 4 – 5} {4 (x_n) ^ 3} [/ matemáticas]

[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n – \ dfrac {x_n} {4} + \ dfrac {5} {4 (x_n) ^ 3} [/ matemáticas]

[matemáticas] x_ {n + 1} = \ dfrac {3x_n} {4} + \ dfrac {5} {4 (x_n) ^ 3} [/ matemáticas]

Puede comenzar con cualquier conjetura que desee, pero es posible que desee utilizar la interpolación lineal para obtener su primera suposición.

[matemáticas] 1 ^ {0.25} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 16 ^ {0.25} = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 5 ^ {0.25} \ aprox \ dfrac {5-1} {16-1} \ cdot (2-1) + 1 = \ dfrac {4} {15} + 1 = \ dfrac {19} {15 }[/matemáticas]

Eso haría que [math] x_0 = \ dfrac {19} {15} [/ math]

[matemáticas] x_1 = \ dfrac {53674} {34295} [/ matemáticas]

[matemáticas] x_2 = \ dfrac {31815333752061069653} {21212052047177172320} [/ matemáticas]

Puede seguir calculando todo el tiempo que desee, pero los números serán bastante grandes a menos que esté redondeando sus cálculos a medida que avanza.

Puedes usar la misma técnica para los demás:

[matemáticas] 3 ^ {0.5} = x [/ matemáticas]

[matemática] \ izquierda (3 ^ {0.5} \ derecha) ^ 2 = x ^ 2 [/ matemática]

[matemáticas] 3 = x ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 = x ^ 2 – 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = x ^ 2 – 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = 2x [/ matemáticas]

[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n – \ dfrac {f (x_n)} {f ‘(x_n)} [/ matemáticas]

[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n – \ dfrac {(x_n) ^ 2 – 3} {2x_n} [/ matemáticas]

[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n – \ dfrac {x_n} {2} + \ dfrac {3} {2x_n} [/ matemáticas]

[matemáticas] x_ {n + 1} = \ dfrac {x_n} {2} + \ dfrac {3} {2x_n} [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 ^ {0.5} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 ^ {0.5} = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 ^ {0.5} \ aprox 2 – \ dfrac {4-3} {4-1} (2-1) [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 ^ {0.5} \ aprox 2 – \ dfrac {1} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 ^ {0.5} \ aprox \ dfrac {5} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] x_0 = \ dfrac {5} {3} [/ matemáticas]

No haré los cálculos aquí, ya que puedes hacerlos por tu cuenta si lo deseas.

[matemáticas] 4 ^ \ frac {1} {3} = x [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 = x ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 = x ^ 3 – 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = x ^ 3 – 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = 3x ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n – \ dfrac {f (x_n)} {f ‘(x_n)} [/ matemáticas]

[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n – \ dfrac {(x_n) ^ 3 – 4} {3 (x_n) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n – \ dfrac {x_n} {3} + \ dfrac {4} {3 (x_n) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] x_ {n + 1} = \ dfrac {2x_n} {3} + \ dfrac {4} {3 (x_n) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 ^ \ frac {1} {3} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 8 ^ \ frac {1} {3} = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 ^ \ frac {1} {3} \ aprox \ dfrac {4-1} {8-1} (2-1) + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 ^ \ frac {1} {3} \ aprox \ dfrac {3} {7} + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 ^ \ frac {1} {3} \ aprox \ dfrac {10} {7} [/ matemáticas]

[matemáticas] x_0 = \ dfrac {10} {7} [/ matemáticas]

Una vez más, no haré los cálculos aquí, porque espero que vean cómo funcionan desde el primer ejemplo.

Answer 2

Realmente no puedo decirte cómo obtener un valor exacto, pero puedo ayudarte a aumentarlo.

Entonces, comencemos con 5 ^ 0.25.

Puede convertir eso en (5 ^ 0.5) ^ 0.5

Entonces, encontremos la raíz cuadrada de 5 primero. ¿Cuál es el cuadrado perfecto más cercano a 5? 4)

Ahora, dado que es menor que 5, sabemos que la raíz cuadrada debe ser mayor que la de 4. Por lo tanto, es mayor que 2. Pero 3 ^ 2 es demasiado grande, por lo que es menor que 3.

Ahora reduzcamos el rango. 2.5 ^ 2 sería aproximadamente 6.25, por lo que está entre 2 y 2.5.

2.3 ^ 2 sería un poco más de 5. Aproximadamente 5.2 o 5.3.

Entonces está entre 2 y 2.3. Yo diría que 2.2 o 2.23

Veamos cómo resulta ser: 5 ^ 0.5 = 2.236. Así que estaba cerca.

Ahora 2.236 ^ 0.5.

Si has memorizado algunos cuadrados irracionales, sabrás que la raíz cuadrada de dos es 1.414. entonces tiene que ser mayor que eso. Se puede estacionar a aproximadamente 1.5 o 1.49, diría yo. Porque 1.5 ^ 2 sería 2.25. que es lo correcto

Ahora para 3 ^ 0.5 es solo una cosa de memoria, 1.732. ten eso en mente. Calcular cuadrados irracionales como ese puede ser difícil. Puede intentar lo mismo aunque siga reduciendo el rango.

Aquí, el cuadrado más cercano es 4. Pero 4 es mayor que 3, por lo que la raíz cuadrada debe ser menor que 2.

1.5 ^ 2 es demasiado pequeño. Y 1.8 ^ 2 es demasiado grande. Entonces debe ser 1.6 o 1.7. 1.7 es la apuesta más cercana.

Ahora por 4 ^ 0.33.

4 ^ 0.5 es 2. Entonces debe ser más pequeño que eso.

4 ^ 0.25 sería la raíz cuadrada de 2 o aproximadamente 1.414. entonces el valor debe estar entre 1.414 y 2. Ahora ese es un rango bastante amplio, pero reduzcamoslo.

Intenta cubicar algunos números decimales para reducirlo. Comencemos con 1.5.

1.5 es lo mismo que 15/10. Ahora (15/10) ^ 3 es matemática de papel de lápiz. Eso sería 3.375. Demasiado baja.

Ahora intentemos 1.9. (19/10) ^ 3 = 6,9. demasiado alto

Probemos 1.6. (16/10) ^ 3 = 4.096. ok ahora estamos llegando a alguna parte.

Entonces mayor que 1.5 pero menor que 1.6. Probemos el medio.

1.55 ^ 3 = (155/100) ^ 3 = 3.7.

De acuerdo más cerca.

1.57 ^ 3 = (157/100) ^ 3 = 3.9

De acuerdo más cerca.

1.58 ^ 3 = (158/100) ^ 3 = 3.94

De acuerdo, casi allí.

1.59 ^ 3 = (159/100) ^ 3 = 4.02

Podrías detenerte allí, pero obtengamos un segundo decimal.

1.586 ^ 3 = (1586/1000) ^ 3 = 3.99.

Gracias respuesta correcta es 1.58008.

Entonces diría que 1.58 está bastante cerca.

Answer 3

① 1.6 * 1.6 * 1.6 * 1.6 = 2.56 * 2.56> 2.5² {6.25}

1.5 ^ 4 = 2.25² = {9/4} ² = 81/16 = 5 + 1/1 → 5 ^ 1 / 4≈1.5

② 1.7² = 2.89

173² = {170 + 3} ² = 28900 + 1020 + 9 = 29,929

∴3 ^ ½≈1.73

③4 ^ 0.33≈ <4 ^ 1 / 3≈1.6

∵ 2 ^ 12 = 2 ^ 10 × 2² = 4 * 1024 = 4096 = (2 ^ 4) ³ = 16³

Answer 4

Usaría tablas de logaritmos de mi manual de tablas de matemáticas.

por ejemplo 5 ^ 0.25

tome el registro de 5 multiplique por .25 (es decir, divida por 4 a mano) y luego tome el antilog del resultado.

Todavía recuerdas cómo hacer una división larga, ¿no?