Este es un ejemplo de un problema que involucra una fracción continua generalizada finita.
Como resto o explicación, la forma de una fracción continua generalizada se escribe como:
[matemáticas] {\ displaystyle x = b_ {0} + {\ cfrac {a_ {1}} {b_ {1} + {\ cfrac {a_ {2}} {b_ {2} + {\ cfrac {a_ {3 }} {b_ {3} + {\ cfrac {a_ {4}} {b_ {4} + \ ddots \,}}}}}}}}} [/ math]
En el caso de esta pregunta, [math] b_0 = 0 [/ math], [math] b_n = 2 n-1, n \ geq 1 [/ math], [math] a_n = 2 n [/ math].
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Una fracción continua generalizada también se puede escribir de la siguiente forma:
[matemáticas] \ displaystyle x = b_ {0} + {\ underset {n = 1} {\ overset {\ infty} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n} }}[/matemáticas]
Comencemos calculando fracciones continuas simples con pequeñas [matemáticas] n [/ matemáticas].
Usando Mathematica y escribiendo el código:
n = Tabla [2 q, {q, 1, 2}];
d = Tabla [2 p – 1, {p, 1, 2}];
ContinuaciónFracciónK [n [[k]], d [[k]], {k, 2}]
N [ContinuaciónFracciónK [n [[k]], d [[k]], {k, 2}]]
obtenemos la siguiente fracción continua para [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas] (con la aproximación numérica):
[matemáticas] \ displaystyle \ large {\ underset {n = 1} {\ overset {2} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = \ frac { 2} {1+ \ frac {4} {3}} = \ frac {6} {7} \\ \ aprox. 0.857142857142857142857142857142 [/ matemáticas]
Escribiendo el código:
n = Tabla [2 q, {q, 1, 3}];
d = Tabla [2 p – 1, {p, 1, 3}];
ContinuaciónFracciónK [n [[k]], d [[k]], {k, 3}]
N [ContinuaciónFracciónK [n [[k]], d [[k]], {k, 3}]]
produce la siguiente fracción continua para [matemáticas] n = 3 [/ matemáticas] (con la aproximación numérica correspondiente):
[matemáticas] \ displaystyle \ large {\ underset {n = 1} {\ overset {3} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = \ frac { 2} {1+ \ frac {4} {3+ \ frac {6} {5}}} = \ frac {42} {41} \\ \ aprox 1.0243902439024390243902439024390243902439024390 [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que el último resultado anterior tiene una parte decimal repetida del período [matemáticas] 5 [/ matemáticas]:
[matemáticas] 1.0 \ overline {24390} [/ matemáticas]
La fracción continua finita en la pregunta se puede calcular escribiendo el código:
n = Tabla [2 q, {q, 1, 25}];
d = Tabla [2 p – 1, {p, 1, 25}];
ContinuaciónFracciónK [n [[k]], d [[k]], {k, 25}]
El resultado o respuesta obtenida es:
[matemáticas] \ displaystyle \ large \ boxed {\ begin {align} {\ underset {n = 1} {\ overset {25} {\ mathrm {K}}}} {\ frac {a_ {n}} {b_ { n}}} & = \ frac {2} {1+ \ frac {4} {3+ \ frac {6} {5+ \ frac {8} {7+ \ frac {10} {\ ddots 47+ \ frac {50} {49}}}}}} \\ & = \ frac {510272698474149628781027169841578} {510272698474149628781027169841577} \ end {align}} [/ math]
El valor numérico del resultado anterior puede parecer igual a [matemáticas] 1.0 [/ matemáticas], pero de hecho el valor numérico a [matemáticas] 500 [/ matemáticas] dígitos decimales es igual a (verificado con Mathematica):
1,00000000000000000000000000000000195973643698803516211927584731183200476494302259400485847187026821569230566818203745444203232569125187294080265460867063349863341926536293414327391849893227786427235240638092811346071048386973466940983282855023806170159728006645754872624557763936682385233320542664568707925164200598654654175583423941931556464192643281932884756777365392232644466478014322911568564612870447287915490638906055890678233563487368735343378459800468322800677356601705584735376212555153537183