¿Qué es un conjunto de expansión para el subespacio cero {0} de R ^ n?

Answer 1

Esta es una pregunta sutil y no tan trivial como uno podría pensar. El lapso de cualquier conjunto (sobre algún anillo conmutativo fijo, en este caso [math] \ mathbb {R} [/ math]) es el módulo de combinaciones lineales de elementos en el conjunto con coeficientes en el anillo elegido. Tal combinación lineal es una suma indexada sobre el conjunto (llámelo [math] S [/ math]), de la forma

[matemáticas] \ Sigma_ {s \ en S} c_ {s} s [/ matemáticas],

donde cada [math] c_ {s} [/ math] es un elemento del anillo (un escalar). La elección de escalares determina de manera única un elemento del módulo.

Como probablemente sepa, la extensión de un conjunto con elementos [math] n [/ math] es un módulo dimensional [math] n [/ math]. El subespacio trivial de [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] es su subespacio de dimensión cero único. ¿Qué conjunto tiene cero elementos? ¡Solo el conjunto vacío!

Para ver que el conjunto de combinaciones lineales de un conjunto vacío es un módulo de dimensión cero con solo el vector cero, recuerde que la única combinación lineal indexada sobre un conjunto vacío es la suma vacía (una suma sin órdenes de suma), que es por definición 0. Por lo tanto, el lapso de un conjunto vacío es un módulo de dimensión cero.