¿Es verdadera la siguiente igualdad [math] \ displaystyle \ int_0 ^ 1 \ log (\ sin (\ pi t)) \, dt = – \ log (2) [/ math]?

Answer 1

Deje [math] T = \ displaystyle \ int_0 ^ 1 \ log {\ sin {\ pi t}} \, \ mathrm dt [/ math]

Demuestre que [matemática] T = – \ log {2} [/ matemática].

Tenga en cuenta que calcular una integral indefinida para esta función es bastante exigente, pero no necesitamos hacer esto: en su lugar, podemos usar las propiedades de los logaritmos y las funciones trigonométricas para calcular la integral definida directamente.

Sin embargo, lo primero que debemos notar es que el integrando no está definido en los puntos finales de la integración: [math] \ sin {0} = 0 [/ math] y [math] \ sin {\ pi} = 0 [/ math ], y [math] \ log {0} [/ math] no está definido. Sin embargo, el integrando es finito e integrable en cualquier otro lugar entre los puntos finales, por lo que podemos asignar un valor finito a la integral tratándolo como el límite a medida que el límite inferior se acerca a 0 desde arriba (que escribimos como [matemáticas] 0 ^ + [/ math]) y a medida que el límite superior se acerca a 1 desde abajo (que escribimos como [math] 1 ^ – [/ math]). Adoptamos las siguientes notaciones:

• Escriba [math] \ displaystyle \ int_ {a ^ +} ^ bf (x) \, \ mathrm dx [/ math] para [math] \ displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ to 0 ^ +} \ int_ {a + \ epsilon} ^ bf (x) \, \ mathrm dx [/ math]
• Escriba [math] \ displaystyle \ int_a ^ {b ^ -} f (x) \, \ mathrm dx [/ math] para [math] \ displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ a 0 ^ +} \ int_a ^ {b – \ epsilon} f (x) \, \ mathrm dx [/ math]
• [matemáticas] \ displaystyle \ int_ {a ^ +} ^ {b ^ -} f (x) \, \ mathrm dx = \ lim _ {\ epsilon_1 \ to 0 ^ +} \ lim _ {\ epsilon_2 \ to 0 ^ +} \ int_ {a + \ epsilon_1} ^ {b + \ epsilon_2} f (x) \, \ mathrm dx = \ lim _ {\ epsilon_2 \ a 0 ^ +} \ lim _ {\ epsilon_1 \ a 0 ^ +} \ int_ { a + \ epsilon_1} ^ {b + \ epsilon_2} f (x) \, \ mathrm dx [/ math]

Por lo tanto, [math] T = \ displaystyle \ int_ {0 ^ +} ^ {1 ^ -} \ log {\ sin {\ pi t}} \, \ mathrm dt [/ math]

Esto “elimina” las singularidades de la integral, y estableceremos si podemos obtener un valor finito como resultado.

Deje que [math] u = \ pi t \ \ por lo tanto \ mathrm du = \ pi \, \ mathrm dt [/ math], [math] u \ to 0 ^ + [/ math] como [math] t \ to 0 ^ + [/ math] y [math] u \ to \ pi ^ – [/ math] como [math] t \ to 1 ^ – [/ math].

[matemáticas] \ por lo tanto T = \ frac {1} {\ pi} \ displaystyle \ int_ {0 ^ +} ^ {\ pi ^ -} \ log {\ sin {u}} \, \ mathrm du [/ math]

[matemática] \ sin {u} [/ matemática] es simétrica acerca de [matemática] u = \ frac {\ pi} {2} [/ matemática], entonces [matemática] \ displaystyle \ int_ {0 ^ +} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ log {\ sin {u}} \, \ mathrm du = \ displaystyle \ int _ {\ frac {\ pi} {2}} ^ {\ pi ^ -} \ log {\ sin {u}} \, \ mathrm du [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto T = \ frac {2} {\ pi} \ displaystyle \ int_ {0 ^ +} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ log {\ sin {u}} \, \ mathrm du [/ math]

Ahora [math] \ sin {u} \ equiv \ cos {\ frac {\ pi} {2} – u} [/ math], entonces deja que [math] v = \ frac {\ pi} {2} – u \ \ por lo tanto \ mathrm dv = – \ mathrm du [/ math], [math] \ sin {u} = \ cos {v} [/ math],
[matemática] v \ a \ frac {\ pi} {2} ^ – [/ matemática] cuando [matemática] u \ a 0 ^ + [/ matemática] y [matemática] v = 0 [/ matemática] cuando [matemática] u = \ frac {\ pi} {2} [/ math].

[matemáticas] \ por lo tanto T = – \ frac {2} {\ pi} {\ displaystyle \ int _ {\ frac {\ pi} {2} ^ -} ^ 0 \ log {\ cos {v}} \, \ mathrm dv} = \ frac {2} {\ pi} \ displaystyle \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2} ^ -} \ log {\ cos {v}} \, \ mathrm dv [/ math]

Podemos agregar estas dos expresiones para que [math] T [/ math] obtenga:

[matemáticas] \ begin {align} 2T & = {\ scriptsize \ frac {2} {\ pi}} \ int_ {0 ^ +} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ log {\ sin {u }} \, \ mathrm du + {\ scriptsize \ frac {2} {\ pi}} \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2} ^ -} \ log {\ cos {v}} \, \ mathrm dv \\ & = {\ scriptsize \ frac {2} {\ pi}} \ int_ {0 ^ +} ^ {\ frac {\ pi} {2} ^ -} \ big (\ log {\ sin {u} } + \ log {\ cos {u}} \ big) \, \ mathrm du \\ & = {\ scriptsize \ frac {2} {\ pi}} \ int_ {0 ^ +} ^ {\ frac {\ pi } {2} ^ -} \ log {\ left (\ sin {u} \ cos {u} \ right)} \, \ mathrm du \ end {align} [/ math]

Recuerde que [math] \ sin {2 \ theta} \ equiv 2 \ sin {\ theta} \ cos {\ theta} [/ math], entonces [math] \ sin {\ theta} \ cos {\ theta} \ equiv \ dfrac {\ sin {2 \ theta}} {2} [/ math].

[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto 2T & = {\ scriptsize \ frac {2} {\ pi}} \ int_ {0 ^ +} ^ {\ frac {\ pi} {2} ^ -} \ log { \ left (\ frac {\ sin {2u}} {2} \ right)} \, \ mathrm du \\ & = {\ scriptsize \ frac {2} {\ pi}} \ int_ {0 ^ +} ^ { \ frac {\ pi} {2} ^ -} \ big (\ log {\ sin {2u}} – \ log {2} \ big) \, \ mathrm du \\ & = {\ scriptsize \ frac {2} {\ pi}} \ int_ {0 ^ +} ^ {\ frac {\ pi} {2} ^ -} \ log {\ sin {2u}} \, \ mathrm du – {\ scriptsize \ frac {2} { \ pi}} \ log {2} \ int_ {0 ^ +} ^ {\ frac {\ pi} {2} ^ -} \, \ mathrm du \ end {align} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} \ text {Now} \ int_ {0 ^ +} ^ {\ frac {\ pi} {2} ^ -} \, \ mathrm du & = \ lim _ {\ epsilon_1 \ to 0 ^ +} \ lim _ {\ epsilon_2 \ to 0 ^ +} \ int_ {0 + \ epsilon_1} ^ {\ frac {\ pi} {2} – \ epsilon_2} \, \ mathrm du \\ & = \ lim _ {\ epsilon_1 \ a 0 ^ +} \ lim _ {\ epsilon_2 \ a 0 ^ +} \ Big [u \ Big] _ {0 + \ epsilon_1} ^ {\ frac {\ pi} {2} – \ epsilon_2} \\ & = \ lim _ {\ epsilon_1 \ a 0 ^ +} \ lim _ {\ epsilon_2 \ a 0 ^ +} \ left ({\ scriptsize \ frac {\ pi} {2}} – \ epsilon_2 – 0 – \ epsilon_1 \ right) \ \ & = {\ scriptsize \ frac {\ pi} {2}} \ end {align} [/ math]

Sea [math] w = 2u \ \ por lo tanto \ mathrm dw = 2 \, \ mathrm du [/ math], [math] w \ to 0 ^ + [/ math] cuando [math] u \ to 0 ^ + [/ math] y [math] w \ to \ pi ^ – [/ math] cuando [math] u \ to \ frac {\ pi} {2} ^ – [/ math].

[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto 2T & = {\ scriptsize \ frac {2} {\ pi}} \ int_ {0 ^ +} ^ {\ pi ^ -} \ log {\ sin {w}} \ , \ mathrm dw – {\ scriptsize \ frac {2} {\ pi}} \ log {2} \ times {\ scriptsize \ frac {\ pi} {2}} \\ & = T – \ log {2} \ end {align} [/ math]

Como la integral que evaluamos dio un resultado finito a medida que se aplicaron los límites, y las integrales de límite restantes se cancelaron, podemos asignar un resultado finito a la integral definida que estamos calculando:

[math] \ boxed {T = – \ log {2}} \ \ [/ math] QED

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Letra pequeña: • cuando uso [math] \ log [/ math] esto denota un logaritmo natural (base [math] e [/ math] ); si se pretende cualquier otra base, se mostrará como un subíndice • Generalmente omito las constantes de integración de integrales indefinidas hasta que muestre un resultado final o intermedio •

Answer 2

[matemáticas] \ begin {align} I & = \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ ln (\ sin \ pi t) \, dt \\ & = 2 \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1/2 } \ ln (\ sin \ pi t) \, dt \\ & = 2 \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1/2} \ ln (\ cos \ pi t) \ end {align} \ tag * {} [/matemáticas]

Ahora sumándolos

[matemáticas] \ begin {align} 2I & = 2 \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1/2} \ ln \ left (\ dfrac {2 \ sin \ pi t \ cos \ pi t} {2} \ right) \, dt \\ & = 2 \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1/2} \ ln (\ sin 2 \ pi t) \, dt-2 \ displaystyle \ int_ {0} ^ {1/2} \ ln 2 \, dt \\ & = 2 \ cdot \ dfrac {1} {2} \ underbrace {\ displaystyle \ int_ {0} ^ {1} \ ln (\ sin \ pi t) \, dt} _ {I } – \ ln 2 \\ & = 2 \ cdot \ dfrac {I} {2} – \ ln 2 \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Entonces tenemos

[matemáticas] \ en caja {I = – \ ln 2} \ tag * {} [/ matemáticas]

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Un enfoque alternativo puede ser usar la Serie Fourier.

Al cambiar la integración tomando [math] \ pi t = x [/ math], se convierte en

[matemáticas] I = \ dfrac {1} {\ pi} \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ pi} \ ln (\ sin x) \, dx \ tag * {} [/ matemáticas]

Ahora usando la serie de Fourier de [math] \ ln (\ sin x) [/ math] tendremos

[matemáticas] \ ln (\ sin x) = – \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ dfrac {\ cos (2kx)} {k} – \ ln (2) \ tag * {} [/ math ]

[matemáticas] \ begin {align} I & = \ dfrac {1} {\ pi} \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ pi} \ left \ {- \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ dfrac {\ cos (2kx)} {k} – \ ln (2) \ right \} \, dx \\ & = – \ dfrac {1} {\ pi} \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty } \ underbrace {\ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ pi} \ dfrac {\ cos (2kx)} {k}} _ {= 0} – \ dfrac {1} {\ pi} \ displaystyle \ int_ {0 } ^ {\ pi} \ ln 2 \, dx \\ & = – \ ln 2 \ end {align} \ tag * {} [/ math]