¿Por qué [matemáticas] (x ^ 2-y ^ 2) / x = (x ^ 2 + y ^ 2) / y [/ matemáticas] forman una línea recta?

Answer 1

Suponga que [math] (x, y) [/ math] es una solución para [math] (x ^ 2 – y ^ 2) / x = (x ^ 2 + y ^ 2) / y [/ math].

Entonces [math] ((rx) ^ 2 – (ry) ^ 2) / (rx) [/ math]

[matemáticas] = r (x ^ 2 – y ^ 2) / x [/ matemáticas]

[matemáticas] = r (x ^ 2 + y ^ 2) / y [/ matemáticas]

[matemáticas] = ((rx) ^ 2 + (ry) ^ 2) / (ry) [/ matemáticas]

Entonces, cada punto [matemático] (x, y) [/ matemático] que es una solución a la ecuación implica que todos los puntos en la línea a través de [matemático] (0, 0) [/ matemático] (pero no [matemático] (0) , 0) [/ matemáticas] en sí) son soluciones.

Lo único que ahora tenemos que demostrar es que esta línea es única, es decir, si dos puntos satisfacen la ecuación, se encuentran en el mismo rayo a través del origen. Si esto no se cumple, las soluciones a la ecuación original pueden formar dos líneas , que no es lo que queremos.

Afortunadamente, dos líneas se cruzan exactamente en un punto, y dado que si [matemática] y = 0 [/ matemática], entonces [matemática] x = x / 0 [/ matemática], que no produce ninguna solución, entonces la existencia de esa línea implica que solo hay una solución en la línea con [math] y = 1 [/ math].

Si [matemáticas] y = 1 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] (x ^ 2 – 1) / x = x ^ 2 + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3 – x ^ 2 + x + 1 = 0 [/ matemáticas]

La derivada de esta función es igual a [matemáticas] 3x ^ 2 – 2x + 1 = 3 (x – \ frac {1} {3}) ^ 2 + \ frac {2} {3}> \ frac {2} {3} > 0 [/ math], por lo que la función es monotónica y, por lo tanto, solo puede tener una solución.

QED

Answer 2

Empezando con:

[matemáticas] (x ^ 2-y ^ 2) / x = (x ^ 2 + y ^ 2) / y [/ matemáticas]

Convertir a coordenadas polares:

[matemáticas] \ dfrac {r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta – r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta} {r \ cos \ theta} = \ dfrac {r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta + r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta} {r \ sin \ theta} [/ math]

Toda la caída de r. El numerador en el lado derecho es solo 1 a través de la identidad pitagórica, y el numerador en el lado izquierdo es [math] \ cos (2 \ theta) [/ math] a través de la fórmula de doble ángulo.

Entonces se simplifica a:

[matemáticas] \ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta} = \ cos (2 \ theta) [/ matemáticas]

El lado izquierdo es el cotangente, y la resolución mediante una calculadora gráfica dice [math] \ theta = 2.069. [/ Math]

Este es precisamente el ángulo de la línea en la imagen (observe la superposición).

Answer 3

[matemáticas] yx ^ 2-y ^ 3 = x ^ 3 + xy ^ 2 \ Leftrightarrow f (t) = t ^ 3 + t ^ 2-t + 1 = 0, t = \ frac {y} {x}, x \ neq 0 [/ matemáticas]

Puede comprobar que solo tiene una raíz [matemática] t_0 \ aprox -1.83 [/ matemática]. Por lo tanto, [math] y = t_0 x, x \ neq 0 [/ math] es la ecuación de la línea outlr.

PD Para verificar que la raíz sea única, verifique las raíces de la derivada y descubra que el punto mínimo local es mayor que Ox

Answer 4

Si el punto (w, z) está en la gráfica, entonces también lo está (a * w, a * z), como puede ver simplemente sustituyendo el segundo punto y cancelando las a. Por supuesto, x e y no pueden ser cero, de lo contrario las fracciones estarían indefinidas. Eso significa que la ecuación define una línea recta a través del origen, excepto el punto (0,0).

ETA: también, la segunda derivada es cero

Answer 5

La forma más simple de responder esto intuitivamente es observar que x ^ 2 e y ^ 2 son de orden 2, las x e y son de orden 1, por lo que sin saber absolutamente nada más esperaríamos (x ^ 2 + y ^ 2) / x ser de primer orden y, por lo tanto, es una línea recta, siempre que x no sea igual a cero. Lo mismo para y.