¿Cuál es la probabilidad de que la ecuación [math] x ^ 2 + ax + b = 0 [/ math] tenga soluciones reales, cuando [math] a [/ math] y [math] b [/ math] se eligen de manera uniforme e independiente? en el rango [math] -1 \ leq a, b \ leq 1 [/ math]?

Answer 1

La respuesta de Timon Manfred Gehr es correcta. Así es como lo obtienes.

Calculo la probabilidad de ser 13/24. La forma en que lo alcanzo es la siguiente. Las soluciones serán reales si y solo si:

a ^ 2> = 4 * b → b <= a ^ 2/4

y tendrá una parte imaginaria distinta de cero si b> a ^ 2/4. Esto es cierto siempre que ayb sean números reales y pueda verlo simplemente escribiendo la solución exacta.

Los eventos:

A = {Ambas soluciones son reales}

B = {Al menos una solución no es real}

cubrir el espacio de todas las soluciones, es decir, cualquier par de soluciones debe pertenecer a A o B pero no a ambas, tenemos:

Pr (A) + Pr (B) = 1

Dado que ayb son uniformes (y supongo, aunque el OP no especificó, que no están correlacionados), entonces la probabilidad es:

Pr (A) = Normalización * Integrar [Integrar [1, {b, -1, a ^ 2/4}], {a, -1,1}] = Normalización * 13/6

Pr (B) = Normalización * Integrar [Integrar [1, {b, -a ^ 2 / 4,1}], {a, -1,1}] = Normalización * 11/6

(¡disculpas por usar la notación de Mathematica ya que nunca he podido descubrir cómo usar LateX en Quora!).

Por lo tanto, la normalización es 13/6 + 11/6 = 24/6 y, por lo tanto, la probabilidad Pr (A) que está buscando es:

Pr (A) = 13/6 / (24/6) = 13/24, que fue la respuesta original de Timon Manfred Gehr.

Answer 2

De acuerdo con la fórmula cuadrática, las soluciones a la ecuación [matemáticas] x ^ 2 + ax + b = 0 [/ matemáticas] están dadas por

[matemáticas] x = \ dfrac {-a \ pm \ sqrt {a ^ 2-4b}} {2}. [/ matemáticas]

Para que esto sea real, el discriminante a [matemática] ^ 2-4b [/ matemática] no debe ser negativo (ya que si fuera negativo, su raíz cuadrada sería imaginaria), entonces [matemática] a ^ 2 \ geq 4b .[/matemáticas]

Trace la desigualdad en el plano cartesiano, con [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] como los ejes horizontal y vertical, respectivamente. La desigualdad se satisface para cualquier valor debajo (o sobre) la curva [matemáticas] b = \ frac {a ^ 2} {4} [/ matemáticas] y dentro del cuadrado con vértices [matemáticas] (- 1, -1), (-1,1), (1, -1), (1,1). [/ Matemáticas]

(Gráfico hecho con Desmos)

Claramente, si [matemática] b <0, [/ matemática] la ecuación se satisface para cualquier [matemática] a [/ matemática]. Para [math] b \ geq 0, [/ math] el área debajo de la curva es simplemente la integral

[math] \ displaystyle \ int \ limits _ {- 1} ^ 1 \ dfrac {a ^ 2} {4} da = \ frac {1} {6}. [/ math]

Suponiendo que [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] son ​​variables aleatorias distribuidas uniformemente, la probabilidad de que el par [matemáticas] (a, b) [/ matemáticas] caiga dentro de la región válida es el área de la región válida dividida por el área total, que es

[matemáticas] \ dfrac {2 + \ frac {1} {6}} {4} = \ dfrac {13} {24}. [/ matemáticas]

Answer 3

Mientras

[matemáticas] 0.25a ^ 2 \ ge b [/ matemáticas]

La ecuación dada tendrá raíces reales. Este es trivialmente el caso del positivo b.

Sin embargo, cuando b es negativo, solo 1/6 de tiempo existirán raíces reales.

Por lo tanto, suponiendo la distribución uniforme de las variables ANB, 7/12 del tiempo habrá raíces reales