Cómo resolver [matemáticas] \ pi ^ {x} = x ^ {\ pi}

Answer 1

Permítanme ampliar un poco las otras respuestas. Para completar, primero repetiré la solución usando la función Lambert W. El objetivo es reescribir su ecuación en la forma [math] f (x) \ exp \ left ({f (x)} \ right) = c [/ math] para alguna constante de valor real [math] c [/ math ] y alguna función [matemática] f (x) [/ matemática]. Tal forma nos permite aplicar el Lambert W, que es el inverso de [math] u \ exp (u) [/ math] a ambos lados de la ecuación para concluir que [math] f (x) = W (c) [ /matemáticas]. Si [math] f [/ math] es una función invertible, podemos concluir que [math] x = f ^ {- 1} (W (c)) [/ math].

Para ello, hacemos el siguiente álgebra:

[matemáticas] \ pi ^ x = x ^ \ pi [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ x = \ pi ^ {\ frac x \ pi} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ x = \ exp \ left (\ frac {\ ln \ pi} \ pi x \ right) [/ math]

[matemáticas] \ implica \ 1 = x \ exp \ left (- \ frac {\ ln \ pi} \ pi x \ right) [/ math]

[matemáticas] \ implica \ – \ frac {\ ln \ pi} \ pi = – \ frac {\ ln \ pi} \ pi x \ exp \ left (- \ frac {\ ln \ pi} \ pi x \ right) [/matemáticas]

Ahora hemos logrado la forma que queremos para poder usar el Lambert W.

[matemáticas] \ implica \ – \ frac {\ ln \ pi} \ pi x = W \ left (- \ frac {\ ln \ pi} \ pi \ right) [/ math]

[matemáticas] \ implica \ x = – \ frac \ pi {\ ln \ pi} W \ left (- \ frac {\ ln \ pi} \ pi \ right) [/ math]

---

Ahora, hice un paso en el camino que debería haber tenido más cuidado. El Lambert W de valor real no es realmente una función porque [math] u \ exp (u) [/ math] no es invertible. El Lambert W es en realidad de doble valor cuando su argumento está en el intervalo [matemática] \ izquierda (- \ frac 1 e, 0 \ derecha) [/ matemática]. Entonces, cuando aplico el Lambert W a ambos lados de mi ecuación, debería haber tenido cuidado de averiguar si esperar cero, una o dos respuestas.

Como [math] – \ frac {\ ln \ pi} \ pi \ in \ left (- \ frac 1 e, 0 \ right) [/ math], vemos que debe haber dos valores reales de [math] W \ left (- \ frac {\ ln \ pi} \ pi \ right) [/ math]. A menudo se escriben como [matemáticas] W_0 \ left (- \ frac {\ ln \ pi} \ pi \ right) [/ math] y [math] W _ {- 1} \ left (- \ frac {\ ln \ pi } \ pi \ right) [/ math].

Entonces, al final, obtenemos dos soluciones:

[matemáticas] x = – \ frac \ pi {\ ln \ pi} W_0 \ left (- \ frac {\ ln \ pi} \ pi \ right) [/ math]

y

[matemáticas] x = – \ frac \ pi {\ ln \ pi} W _ {- 1} \ left (- \ frac {\ ln \ pi} \ pi \ right) [/ math]

Resulta que uno de estos es igual a [math] \ pi [/ math] mientras que el otro es aproximadamente igual a [math] 2.3822 [/ math].

Como el Lambert W puede asumir como máximo dos valores reales, sabemos que estas son las únicas dos soluciones reales. También hay una familia infinitamente infinita de soluciones complejas, todas ellas dadas por diferentes ramas del Lambert W también.

Answer 2

También puede obtener la solución por métodos numéricos.

Usando el método de Newton-Raphson, podemos resolver esta ecuación de la siguiente manera:

Deje [math] [/ math] [math] f (x) = \ pi ^ x – x ^ {\ pi}. [/ Math] Queremos que el valor de f (x) sea 0.

Entonces [math] f ′ (x) = \ pi ^ x \, \ log \ pi – \ pi \, x ^ {\ pi – 1} [/ math]

Deje que la primera estimación de x sea [matemática] x_1 [/ matemática] [matemática]. [/ Matemática]

Entonces, la segunda y mejor estimación sería [matemáticas] x_2 = x_1 – \ frac {f (x_1)} {f ‘(x_1)} [/ matemáticas]

La tercera y mejor estimación sería [matemáticas] x_3 = x_2 – \ frac {f (x_2)} {f ‘(x_2)} [/ matemáticas]

Continuamos de esta manera hasta que la diferencia entre dos estimaciones sucesivas sea menor que el error tolerable.

Para este caso particular, los detalles de las iteraciones son los siguientes:

Entonces, obtienes la solución como 2.382179088.

Editar: Mi agradecimiento a Trevor Muhammad por señalar el error tipográfico, que ahora se ha corregido.

Answer 3

[matemáticas] \ displaystyle {\ pi ^ x = x ^ \ pi} [/ matemáticas]

Podemos usar la función Lambert W para esto.

Aplicando el mismo poder a ambos lados:

[matemáticas] \ displaystyle {(\ pi ^ x) ^ \ frac {1} {\ pi} = (x ^ \ pi) ^ \ frac {1} {\ pi}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle {\ pi ^ \ frac {x} {\ pi} = x} [/ matemáticas]

Desde [math] \ pi = e ^ {\ ln (\ pi)} [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle {e ^ \ frac {x \ cdot \ ln (\ pi)} {\ pi} = x} [/ matemáticas]

Dividiendo ambos lados:

[matemáticas] \ displaystyle {1 = \ frac {x} {e ^ \ frac {x \ cdot \ ln (\ pi)} {\ pi}}} [/ math]

Aplicación de leyes de índice:

[matemáticas] \ displaystyle {1 = xe ^ \ frac {-x \ cdot \ ln (\ pi)} {\ pi}} [/ matemáticas]

Multiplicando ambos lados por [matemáticas] – \ frac {\ ln (\ pi)} {\ pi} [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {-x \ cdot \ ln (\ pi)} {\ pi} e ^ \ frac {-x \ cdot \ ln (\ pi)} {\ pi} = – \ frac {\ ln (\ pi)} {\ pi}} [/ math]

Aplicando la función Lambert W a ambos lados:

[matemáticas] \ displaystyle {W \ Big (\ frac {-x \ cdot \ ln (\ pi)} {\ pi} e ^ \ frac {-x \ cdot \ ln (\ pi)} {\ pi} \ Big ) = W \ Big (- \ frac {\ ln (\ pi)} {\ pi} \ Big)} [/ math]

Como [matemáticas] W (xe ^ x) = x [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {-x \ cdot \ ln (\ pi)} {\ pi} = W \ Big (- \ frac {\ ln (\ pi)} {\ pi} \ Big)} [/ matemáticas]

Reorganizar:

[matemáticas] \ displaystyle {x = – \ frac {\ pi} {\ ln (\ pi)} W \ Big (- \ frac {\ ln (\ pi)} {\ pi} \ Big)} [/ math]

No existe una solución analítica conocida, por lo que no sabemos cómo obtener una solución exacta para esto, pero también se puede resolver mediante aproximación numérica.

Answer 4

* A2A

Usando la función Lambert W.

[matemáticas] \ displaystyle ze ^ z = y \ implica z = W (y) [/ matemáticas]

---

La ecuación dada es: [matemáticas] π ^ x = x ^ π [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica π ^ {\ frac xπ} = x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica x = e ^ {\ ln π ^ {\ frac xπ}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica x = e ^ {\ frac xπ \ ln π} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica xe ^ {- \ frac {\ ln π} π (x)} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica – \ frac {\ ln π} π xe ^ {- \ frac {\ ln π} π (x)} = – \ frac {\ ln π} π [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ text {Let} – \ frac {\ ln π} π (x) = z [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica ze ^ z = – \ frac {\ ln π} π [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica z = W (- \ frac {\ ln π} π) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica – \ frac {\ ln π} π (x) = W (- \ frac {\ ln π} π) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ boxed {x = \ frac {W (- \ frac {\ ln π} π)} {- \ frac {\ ln π} π}} [/ math]

Answer 5

Primero busquemos el conjunto de valores que corresponden a [math] \ displaystyle 1 ^ {\ frac 1 {\ pi}} [/ math]

Utilizamos el teorema de DeMovire para concluir que dicho conjunto es

[matemáticas] \ displaystyle T = \ left \ {\ cos (2k) + i \ sin (2k) | k \ in \ mathbb {Z} \ right \} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} x ^ \ pi & = \ pi ^ x \\ x & \ displaystyle = t \ pi ^ {\ frac x {\ pi}}, \ text {where} t \ en T \\ \ displaystyle e ^ {\ frac {x \ ln \ pi} {\ pi}} & = \ dfrac xt \\ \ displaystyle \ frac xt e ^ {\ frac {-x \ ln \ pi} {\ pi}} & = 1 \\ \ displaystyle – \ frac {x \ ln \ pi} {\ pi} e ^ {\ frac {-x \ ln \ pi} {\ pi}} & = – \ frac {t \ ln \ pi} {\ pi} \\ – \ frac {x \ ln \ pi} {\ pi} & = W \ left (- \ frac {t \ ln \ pi} {\ pi} \ right) \\ x & = \ displaystyle \ en caja {- \ frac {\ pi W \ left (- \ frac {t \ ln \ pi} {\ pi} \ right)} {\ ln \ pi}} \ end {align} \ tag * {} [/ math ]

[matemáticas] \ enorme \ ddot \ sonrisa \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Debe tomar [math] t [/ math] como 1 si solo desea valores reales.

Answer 6

Deje que [matemáticas] π ^ x = e ^ {lnπ * x} [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {lnπ * x} = x ^ π [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {lnπ * x * 1 / π} = x [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {(- 1) * ((- lnπ / π) * x)} = x ^ {- 1} [/ matemáticas]

Ahora multiplica ambos lados por x

[matemáticas] x * e ^ {(- lnπ / π) * x)} = 1 [/ matemáticas]

---

[matemática] W (x) = a [/ matemática] si [matemática] ae ^ a = x [/ matemática]

---

Multiplica ambos lados por [matemáticas] (- lnπ / π) [/ matemáticas]

[matemáticas] -lnπ / π * x * e ^ {(- lnπ / π) * x)} = – lnπ / π [/ matemáticas]

Deje [math] b = -lnπ / π * x [/ math]

[matemáticas] b * e ^ b = -lnπ / π [/ matemáticas]

[matemáticas] W (-lnπ / π) = b [/ matemáticas]

Ahora sustituya “b” y terminará con:

[matemáticas] -π / ln (π) * W (-ln (π) / π) = x [/ matemáticas]

Answer 7

El OP preguntó:

“¿Hay alguna manera de encontrar el valor exacto de la segunda solución

(como en términos de π) ”

Suponiendo que lo que quiere decir con “valor exacto” es “como una combinación de funciones elementales”, entonces la respuesta es no.

Pero puede encontrar rápida y fácilmente una respuesta numérica con más precisión de la que necesitaría utilizando un CAS como, por ejemplo, Maxima:

Answer 8

2.3822 en cuestión de segundos!
¿Cómo?
Bien,

tomar registro de ambos lados,

X. logπ = π. logx

pon el valor constante de log π que es 0.4971 en la ecuación anterior,

Se convierte en 0.1583 x = log x.
¡Por un pequeño ensayo y error, obtenemos x = 2.382 que satisface la ecuación anterior!

¡Gracias!

Answer 9

Puede usar el modelado de gráficos desde una computadora y tendrá la solución, ya que podría usar una calculadora para no estresar su mente, podría hacer lo mismo con las funciones