Puede resolver la ecuación en [math] \ mathbb {C} [/ math]. Usando la identidad de Euler,
[matemáticas] e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x [/ matemáticas]
podemos escribir
[matemáticas] \ cos x = \ displaystyle \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} [/ matemáticas].
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Por lo tanto
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} = 2 [/ matemáticas],
o
[matemáticas] e ^ {2ix} -4e ^ {ix} + 1 = 0 [/ matemáticas].
Vocación
[matemáticas] q = e ^ {ix} [/ matemáticas]
podemos escribir la ecuación cuadrática
[matemáticas] q ^ 2-4q + 1 = 0 [/ matemáticas],
cuyas soluciones son
[matemáticas] 2 \ pm \ sqrt {3} [/ matemáticas].
Entonces
[matemáticas] ix = \ log \ left (2 \ pm \ sqrt {3} \ right) [/ math]
o
[matemáticas] x = -i \ log \ left (2 \ pm \ sqrt {3} \ right) [/ math].
Edición:
Bob Eckert comentó que el signo menos es redundante, porque
[matemática] \ left (2- \ sqrt {3} \ right) = \ left (2+ \ sqrt {3} \ right) ^ {- 1} [/ math],
y por lo tanto
[matemáticas] \ log \ left (2- \ sqrt {3} \ right) = – \ log \ left (2+ \ sqrt {3} \ right) [/ math].
Obviamente tiene razón.
Por lo tanto, las soluciones son
[matemáticas] x = \ pm i \ log \ left (2+ \ sqrt {3} \ right) [/ math].
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