Comencemos con la famosa fórmula del producto del seno debido a Euler
[matemáticas] \ dfrac {\ sin \ pi z} {\ pi z} = \ displaystyle \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1- \ dfrac {z ^ 2} {n ^ 2} \ derecha) ~~, ~~ z \ in \ mathbb {C} \ tag * {(1)} [/ math]
Ahora explotando la identidad de otro Euler, es decir [matemáticas] \ sin \ theta = \ dfrac {e ^ {i \ theta} -e ^ {- i \ theta}} {2i} [/ matemáticas] y reemplazando [matemáticas] z \ mapsto iz [/ matemáticas] tendremos
[matemáticas] \ dfrac {\ sin \ pi iz} {\ pi iz} = \ dfrac {e ^ {\ pi z} -e ^ {- \ pi z}} {2 \ pi z} = \ displaystyle \ prod_ { n = 1} ^ {\ infty} \ left (1+ \ dfrac {z ^ 2} {n ^ 2} \ right) ~~, ~~ z \ in \ mathbb {C} \ tag * {(2)} [/matemáticas]
- ¿Cuál fue primero, [math] \ log (x) = \ log_ {10} (x) [/ math] o [math] \ log (x) = \ log_ {e} (x) [/ math]?
- Cómo resolver [matemáticas] \ pi ^ {x} = x ^ {\ pi}
- ¿Cómo resuelves cos x = -2?
- ¿Es [matemática] \ sqrt {r + 1} + \ sqrt {r-1} [/ matemática] racional o irracional?
- Cómo probar esto, [matemáticas] \ frac {l ^ 2m} {n ^ 4p ^ 3} + \ frac {m ^ 2n} {p ^ 4q ^ 3} + \ frac {n ^ 2p} {q ^ 4l ^ 3} + \ frac {p ^ 2q} {l ^ 4m ^ 3} + \ frac {q ^ 2l} {m ^ 4n ^ 3} \ ge \ frac {1} {n ^ 3p ^ 2} + \ frac { 1} {p ^ 3q ^ 2} + \ frac {1} {q ^ 3l ^ 2} + \ frac {1} {l ^ 3m ^ 2} + \ frac {1} {m ^ 3n ^ 2} [/ matemáticas]
Ahora, si ponemos [matemática] z = 1 [/ matemática] y [matemática] z = 1/2 [/ matemática] respectivamente en la ecuación (2) obtendremos
[matemáticas] \ dfrac {e ^ {\ pi} -e ^ {- \ pi}} {2 \ pi} = \ displaystyle \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1+ \ dfrac {1 } {n ^ 2} \ right) \ tag * {(3)} [/ math]
[matemáticas] \ dfrac {e ^ {\ pi / 2} -e ^ {- \ pi / 2}} {\ pi} = \ displaystyle \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1+ \ dfrac {1} {4 \ cdot n ^ 2} \ right) \ tag * {(4)} [/ math]
Ahora llegando al producto, escribiéndolo como
[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1+ \ dfrac {1} {n ^ 2} \ right) ^ {(- 1) ^ {n- 1}} & = \ left (1+ \ dfrac {1} {1 ^ 2} \ right) \ cdot \ left (1+ \ dfrac {1} {2 ^ 2} \ right) ^ {- 1} \ cdot \ left (1+ \ dfrac {1} {3 ^ 2} \ right) \ cdots \\ & = \ dfrac {\ left (1+ \ dfrac {1} {1 ^ 2} \ right) \ left (1+ \ dfrac {1} {3 ^ 2} \ right) \ left (1+ \ dfrac {1} {5 ^ 2} \ right) \ cdots} {\ left (1+ \ dfrac {1} {2 ^ 2} \ right) \ left (1+ \ dfrac {1} {4 ^ 2} \ right) \ left (1+ \ dfrac {1} {6 ^ 2} \ right) \ cdots} \\ & = \ dfrac {\ left (1+ \ dfrac {1} {1 ^ 2} \ right) \ left (1+ \ dfrac {1} {2 ^ 2} \ right) \ left (1+ \ dfrac {1} {3 ^ 2} \ right) \ cdots} {\ left [\ left (1+ \ dfrac {1} {2 ^ 2} \ right) \ left (1+ \ dfrac {1} {4 ^ 2} \ right) \ left (1 + \ dfrac {1} {6 ^ 2} \ right) \ cdots \ right] ^ 2} \\ & = \ dfrac {\ displaystyle \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1+ \ dfrac {1} {n ^ 2} \ right)} {\ displaystyle \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1+ \ dfrac {1} {4 n ^ 2} \ right) ^ 2} \ \ & = \ dfrac {\ pi} {2} \ cdot \ left (\ dfrac {e ^ {\ pi / 2} + e ^ {- \ pi / 2}} {e ^ {\ pi / 2} -e ^ {- \ pi / 2}} \ right) ~~~~~ \ text {usando la ecuación (3) y (4)} \\ & = \ dfrac {\ pi} {2} \ coth \ left (\ dfrac {\ pi} {2} \ right) \ end {align} \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] {\ bbox [#FFA, 5px] {\ displaystyle \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1+ \ dfrac {1} {n ^ 2} \ right) ^ {(- 1 ) ^ {n-1}} = \ dfrac {\ pi} {2} \ coth \ left (\ dfrac {\ pi} {2} \ right)}} \ tag * {} [/ math]
Numéricamente [matemáticas] \ aprox [/ matemáticas] 1.71 y wolframal también está de acuerdo.