Puede dividir la suma de la siguiente manera (no es más que descomposición de fracción parcial):
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {n (n-1) (n-2)} = \ frac {A} {n} + \ frac {B} {n-1} + \ frac {C} { n-2} [/ matemáticas]
Tenemos que encontrar los coeficientes [matemática] A [/ matemática], [matemática] B [/ matemática] y [matemática] C [/ matemática]. Eliminemos los denominadores multiplicando ambos lados por [math] n (n-1) (n-2) [/ math]:
[matemáticas] \ displaystyle 1 = A (n-1) (n-2) + Bn (n-2) + Cn (n-1) [/ matemáticas]
- Cómo calcular este producto infinito [matemáticas] \ displaystyle \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1+ \ dfrac {1} {n ^ 2} \ right) ^ {(- 1) ^ {n -1}} [/ matemáticas]
- ¿Cuál fue primero, [math] \ log (x) = \ log_ {10} (x) [/ math] o [math] \ log (x) = \ log_ {e} (x) [/ math]?
- Cómo resolver [matemáticas] \ pi ^ {x} = x ^ {\ pi}
- ¿Cómo resuelves cos x = -2?
- ¿Es [matemática] \ sqrt {r + 1} + \ sqrt {r-1} [/ matemática] racional o irracional?
Esta es una igualdad entre dos polinomios y dos polinomios son iguales si los coeficientes están de acuerdo. Pero en lugar de comparar los coeficientes, conectemos [math] n = 0,1,2 [/ math] para obtener el siguiente sistema de ecuaciones:
[matemáticas] \ begin {cases} 1 = A \ cdot (-1) \ cdot (-2) \\ 1 = B \ cdot 1 \ cdot (-1) \\ 1 = C \ cdot 2 \ cdot 1 \ end {casos} [/ matemáticas]
Claramente [matemática] A = \ tfrac {1} {2} [/ matemática], [matemática] B = -1 [/ matemática], [matemática] C = \ tfrac {1} {2} [/ matemática]. Entonces (siempre que la suma sea convergente):
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 3} ^ {\ infty} \ frac {x ^ n} {n (n-1) (n-2)} = \ frac {1} {2} \ sum_ {k = 3} ^ {\ infty} \ frac {x ^ n} {n} – \ sum_ {k = 3} ^ {\ infty} \ frac {x ^ n} {n-1} + \ frac {1} { 2} \ sum_ {k = 3} ^ {\ infty} \ frac {x ^ n} {n-2} [/ math]
Recordemos el hecho de que:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {x ^ n} {n} = – \ ln (1-x) [/ math]
Para evaluar la primera serie simplemente tenemos que restar los dos primeros términos faltantes:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 3} ^ {\ infty} \ frac {x ^ n} {n} = \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {x ^ n} {n} -x- \ frac {x ^ 2} {2} = – \ ln (1-x) -x- \ frac {x ^ 2} {2} [/ matemáticas]
La segunda serie necesita ser renumerada.
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 3} ^ {\ infty} \ frac {x ^ n} {n-1} = \ sum_ {k = 2} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {n + 1}} {n} = x \ sum_ {k = 2} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {n}} {n} = x (- \ ln (1-x) -x) [/ math]
Lo mismo ocurre con el último:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 3} ^ {\ infty} \ frac {x ^ n} {n-2} = \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {n + 2}} {n} = x ^ 2 \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {n}} {n} = x ^ 2 (- \ ln (1-x)) [/ matemáticas]
Ahora combinamos piezas para producir:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 3} ^ {\ infty} \ frac {x ^ n} {n (n-1) (n-2)} = \ frac {- \ ln (1-x) – x- \ frac {x ^ 2} {2}} {2} -x (- \ ln (1-x) -x) + \ frac {x ^ 2 (- \ ln (1-x))} {2 }[/matemáticas]
Se puede simplificar para:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {4} \ left (x (3 x-2) -2 (x-1) ^ 2 \ ln (1-x) \ right) [/ math]
Si tienes curiosidad sobre cómo derivar
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {x ^ n} {n} = – \ ln (1-x) [/ math],
solo necesita conocer la serie geométrica (y algunos conocimientos de cálculo):
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} x ^ n = \ frac {1} {1-x} [/ matemáticas]
Si recuerda que [matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {1} {x} \ mbox {d} x = \ ln x + C [/ matemáticas] y, por lo tanto, [matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {1} { 1-x} \ mbox {d} x = – \ ln (1-x) + C [/ math], podemos integrar la serie término por término:
[matemáticas] \ displaystyle – \ ln (1-x) = \ int \ frac {1} {1-x} \ mbox {d} x = \ int \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} x ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ int x ^ n \ mbox {d} x = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {n + 1}} {n +1} = \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {n}} {n} [/ math]
Deja para justificar la exactitud de estas manipulaciones.