Primero, multiplique ambos lados de la primera ecuación por 1 + r:
[matemáticas] (1 + r) FV_n = A [(1 + r) ^ n + (1 + r) ^ {n – 1} + \ cdots + (1 + r) ^ 2 + (1 + r) ^ 1 ][/matemáticas]
Reste [math] FV_n [/ math] del lado izquierdo y [math] A [(1 + r) ^ {n – 1} + \ cdots + (1 + r) ^ 1 + (1 + r) ^ 0] [/ matemáticas] desde el lado derecho. Esto está permitido ya que las dos cosas que restamos son iguales. Obtenemos:
[matemáticas] (1 + r) FV_n – FV_n = A [(1 + r) ^ n + (1 + r) ^ {n – 1} + \ cdots + (1 + r) ^ 2 + (1 + r) ^ 1] [/ matemáticas]
- Si 4m + 1 / m = 5, ¿cuál es el valor de 5m / 4m ^ 2 + 10m + 1?
- Si f (x) = ax ^ 2 + bx + c y f (k) = k, encuentre el límite xk de (f (f (x)) – x) / f (x) -x?
- ¿Cuál es la razón por la que solo los módulos coprimos funcionan en el teorema del resto chino? ¿Qué problema surge si se toman módulos no coprimos?
- ¿Por qué [matemáticas] (x ^ 2-y ^ 2) / x = (x ^ 2 + y ^ 2) / y [/ matemáticas] forman una línea recta?
- Sin calcular, ¿cómo puedes probar que [matemáticas] e ^ {\ pi}> \ pi ^ e [/ matemáticas]?
[matemáticas] – A [(1 + r) ^ n – 1) + (1 + r) ^ {n – 2} + \ cdots + (1 + r) ^ 1 + (1 + r) ^ 0] [/ matemáticas]
Observe que podemos combinar los [math] FV_n [/ math] s en el lado izquierdo y los [math] A [/ math] s en el lado derecho. Teniendo cuidado de distribuir el signo menos, obtenemos:
[matemáticas] (1 + r – 1) FV_n = A [(1 + r) ^ n + (1 + r) ^ {n – 1} + \ cdots + (1 + r) ^ 2 + (1 + r) ^ 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] – (1 + r) ^ {n – 1} – \ cdots – (1 + r) ^ 2 – (1 + r) ^ 1 – (1 + r) ^ 0] [/ matemáticas]
Podemos cancelar los 1s en el lado izquierdo y todos los términos “medios” en el lado derecho:
[matemáticas] rFV_n = A [(1 + r) ^ n – (1 + r) ^ 0] [/ matemáticas]
Ahora todo lo que queda es dividir entre [matemáticas] r [/ matemáticas] y reconocer que [matemáticas] (1 + r) ^ 0 = 1 [/ matemáticas]:
[matemáticas] FV_n = A \ izquierda [\ frac {(1 + r) ^ n – 1} {r} \ derecha] [/ matemáticas]
Este procedimiento puede parecer sacado de un sombrero, pero es exactamente el truco que necesitamos para sumar una serie geométrica, como Rob señaló en su respuesta. Todo lo que he hecho es sustituir [matemática] 1 + r [/ matemática] por su [matemática] x [/ matemática] y [matemática] FV_n [/ matemática] por su [matemática] A_n [/ matemática].
