Como [math] f (f (k)) = f (k) = k, la sustitución simple [/ math] no funcionará para evaluar este límite, ya que terminaríamos con [math] \ dfrac {0} {0} .[/matemáticas]
La regla de L’Hopital (o al menos un caso) establece que, si [matemáticas] \ lim_ {x \ a a} f (x) = \ lim_ {x \ a a} g (x) = 0, [/ matemáticas] luego [matemáticas] \ lim_ {x \ a a} \ dfrac {f (x)} {g (x)} = \ lim_ {x \ a a} \ dfrac {f ‘(x)} {g’ ( x)} [/ math] siempre que exista este segundo límite. Aplicando la regla de L’Hopital a tu problema:
[matemáticas] \ lim_ {x \ to k} \ dfrac {f (f (x)) – x} {f (x) -x} = \ lim_ {x \ to k} \ dfrac {f ‘(f (x )) f ‘(x) -1} {f’ (x) -1} = \ dfrac {f ‘(f (k)) f’ (k) -1} {f ‘(k) -1} = \ dfrac {\ left [f ‘(k) \ right] ^ 2-1} {f’ (k) -1}, [/ math]
donde el último paso se debe al hecho de que [matemática] f (k) = k. [/ matemática] El numerador factoriza por diferencia de cuadrados, entonces
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[matemáticas] \ lim_ {x \ to k} \ dfrac {f (f (x)) – x} {f (x) -x} = \ dfrac {\ left [f ‘(k) \ right] ^ 2- 1} {f ‘(k) -1} = \ dfrac {\ left [f’ (k) +1 \ right] \ left [f ‘(k) -1 \ right]} {f’ (k) -1 } = f ‘(k) +1. [/ matemáticas]
Pero [matemáticas] f ‘(x) = \ dfrac {d} {dx} (ax ^ 2 + bx + c) = 2ax + b, entonces [/ matemáticas]
[matemáticas] \ lim_ {x \ to k} \ dfrac {f (f (x)) – x} {f (x) -x} = f ‘(k) +1 = 2ak + b + 1. [/ matemáticas ]