¿Hay ejemplos de una función tal que el plano tangente no sea el mismo que la aproximación lineal en ciertos puntos?

Answer 1

Para responder correctamente, primero necesitamos acertar los términos.

¿Qué es una aproximación lineal, o más generalmente: qué es una aproximación de orden [matemática] k [/ matemática]? Deje que [math] f, g: X \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math] sean funciones, [math] X \ subset \ mathbb {R}, x_0 \ in X. [/ math] Para cualquier entero no negativo [math ] k [/ math] decimos que [math] g [/ math] se aproxima a [math] f [/ math] de orden [math] k [/ math] en [math] x_0 [/ math], si

Para todos [math] \ epsilon> 0 [/ math] hay un [math] \ delta> 0 [/ math] tal que para todos [math] x \ in X [/ math] con | [math] x-x_0 | <\ delta [/ matemáticas]

[matemáticas] | f (x) -g (x) | \ le \ epsilon | x-x_0 | ^ k [/ math]

Entonces [matemática] f [/ matemática] es continua en [matemática] x_0 [/ matemática] si y solo si [matemática] f [/ matemática] se aproxima al orden 0 por la función constante [matemática] g (x) = f (x_0) [/ matemáticas].

El concepto de diferenciabilidad es entonces la aproximación de primer orden por una función lineal.

Es un hecho bastante obvio que la función lineal aproximada se determina de manera única, siempre que [math] x_0 [/ math] sea un punto límite de [math] X [/ math].

Una línea tangente (estamos hablando de 1 variable aquí) no es más que la mejor función lineal aproximada, por lo que está su respuesta.

Si tiene la intención de analizar varias variables, debe analizar seriamente las definiciones nuevamente, pero no seguiré esta ruta en este momento.

Answer 2

Se podría pensar en una gráfica suave de una función que tiene un plano tangente en cada punto pero no es diferenciable en un punto porque ese plano tangente en sí no es el gráfico de una función. Por ejemplo, f (x, y) = x ^ (1/3) tiene un plano tangente x = 0 en el origen (x, y, z) = (0,0,0) pero ese plano no es la gráfica de un función de x e y.

El gráfico de la función de 1 variable g (x) = x ^ (1/3) tiene un problema similar. La línea tangente en el origen es vertical (en el plano xy) pero no es la gráfica de una función, por lo que g no tiene una buena aproximación lineal alrededor del origen.

PD: Me han pedido un ejemplo donde f (x, y) depende explícitamente de y. Puede tomar, por ejemplo, f (x, y) = x ^ (1/3) + y cuya gráfica en el origen (o en cualquier punto donde x = 0) sea tangente al plano x = 0. La función f no es diferenciable en el origen del plano xy, por lo que no tiene una buena aproximación lineal allí.