¿Cuál es el valor de [math] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {n ^ {n + 1} e} {(n + 1) ^ n} -n [/ math]?

Answer 1

La respuesta es 1/2. La expresión dentro del límite es [math] (e (1 + 1 / n) ^ {- n} – 1) n [/ math]. Usando la sustitución [math] x = 1 / n [/ math], esto se convierte en [math] (e (1 + x) ^ {- 1 / x} – 1) / x [/ math], y estamos interesados ​​en el límite como [matemática] x \ a 0 [/ matemática] (vea la nota a continuación).

Dejar [math] f (x) = e (1 + x) ^ {- 1 / x} [/ math] y señalar que el valor límite de [math] f (0) [/ math] es [math] 1 [ / math], el límite en la última oración describe la derivada de [math] f [/ math] en [math] 0 [/ math]. Usando de nuevo el hecho de que [matemáticas] f (0) = 1 [/ matemáticas], la derivada de [matemáticas] f [/ matemáticas] coincide con la derivada de [matemáticas] \ ln f [/ matemáticas] en [matemáticas] 0 [ /matemáticas]. Finalmente, [math] \ ln f (x) = 1 – \ ln (1 + x) / x [/ math], y la derivada de esto en [math] 0 [/ math] se ve directamente como [math] 1/2 [/ matemáticas].

Nota: En realidad, solo se nos pregunta qué equivale al límite unilateral [matemática] x \ a 0 ^ {+} [/ matemática], pero resulta que el límite existe en general y no solo desde una dirección en particular; por lo tanto, la respuesta que obtenemos no es simplemente el límite como [matemática] n \ a + \ infty [/ matemática], sino también cuando [matemática] n [/ matemática] se acerca a una magnitud infinita con cualquier signo, ¡incluso negativo o incluso complejo!

Answer 2

Sí, el límite es [matemáticas] \ displaystyle \ frac12 [/ matemáticas]

Esto se puede mostrar usando series de Taylor y enfocándose en los términos dominantes.

Primero, algo de álgebra para reorganizar y cancelar y simplificar:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {n ^ {n + 1} e} {(n + 1) ^ n} -n = \ frac {n ^ n \ cdot n \ cdot e} {\ left [n \ left ( 1+ \ frac {1} {n} \ right) \ right] ^ n} -n = \ frac {n \ cdot e} {\ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) ^ n} -n [/ matemáticas]

En este punto, es tentador decir que [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) ^ n = e [/ math]

pero en realidad es más que solo [matemáticas] e [/ matemáticas]. Dejar:

[matemáticas] \ begin {align} y & = \ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) ^ n \\ \ ln y & = n \ ln \ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) \ end {align} [/ math]

Utilice la serie Taylor para [matemáticas] \ ln (1 + x) [/ matemáticas] para [matemáticas] x [/ matemáticas] cerca de cero

[matemáticas] \ begin {align} \ ln y & = n \ left (\ frac {1} {n} – \ frac {1} {2n ^ 2} + \ frac {1} {3n ^ 3} – \ ldots \ derecha) \\ & = 1- \ frac {1} {2n} + \ frac {1} {3n ^ 2} – \ ldots \\ y & = e ^ {1- \ frac {1} {2n} + \ frac {1} {3n ^ 2} – \ ldots} \ end {align} [/ math]

Sustituya esto de nuevo en la expresión límite.

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {n \ cdot e} {\ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) ^ n} -n = \ frac {n \ cdot e} {e ^ {1- \ frac {1} {2n} + \ frac {1} {3n ^ 2} – \ ldots}} – n = \ frac {n \ cdot e} {e ^ {1- \ frac {1} {2n} + \ frac {1} {3n ^ 2} – \ ldots}} – \ frac {n \ cdot e ^ {1- \ frac {1} {2n} + \ frac {1} {3n ^ 2} – \ ldots} } {e ^ {1- \ frac {1} {2n} + \ frac {1} {3n ^ 2} – \ ldots}} = \\ \ frac {n \ cdot en \ cdot e ^ {1- \ frac {1} {2n} + \ frac {1} {3n ^ 2} – \ ldots}} {e ^ {1- \ frac {1} {2n} + \ frac {1} {3n ^ 2} – \ ldots }} = \ frac {n \ cdot e \ left (1-e ^ {- \ frac {1} {2n} + \ frac {1} {3n ^ 2} – \ ldots} \ right)} {e ^ { 1- \ frac {1} {2n} + \ frac {1} {3n ^ 2} – \ ldots}} = \ frac {n \ left (1-e ^ {- \ frac {1} {2n} + \ frac {1} {3n ^ 2} – \ ldots} \ right)} {e ^ {- \ frac {1} {2n} + \ frac {1} {3n ^ 2} – \ ldots}} [/ math]

Use la serie Taylor para [matemáticas] e ^ x = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2!} + \ Ldots [/ matemáticas] para encontrar que

[matemáticas] \ displaystyle e ^ {- \ frac {1} {2n} + \ frac {1} {3n ^ 2} – \ ldots} = 1- \ frac {1} {2n} + \ ldots [/ math]

Sustituir de nuevo en la expresión límite.

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {n \ left (1- \ left [1- \ frac {1} {2n} + \ ldots \ right] \ right)} {1- \ frac {1} {2n} + \ ldots} = \ frac {n \ left (\ frac {1} {2n} – \ ldots \ right)} {1- \ frac {1} {2n} + \ ldots} = \ frac {\ frac12- \ ldots} {1- \ frac {1} {2n} + \ ldots} [/ math]

Como [math] n \ to \ infty [/ math], el límite es [math] \ displaystyle \ frac12 [/ math]