Dado que x + y + z = 360, ¿qué valores de x, y y z dan el mayor número cuando se multiplican?

Answer 1

Primero, creo que esta pregunta debería agregar la restricción que

[matemáticas] x, y, z \ geq 0 [/ matemáticas],

o simplemente puedes tomar

[matemáticas] x = y = -1000, z = 2360 [/ matemáticas],

y el producto es más grande que [matemáticas] 120 ^ 3 [/ matemáticas].

Hay 2 formas de resolver este problema.

Primero, por la desigualdad AM-GM, donde AM es la media aritmética y GM es la media geométrica, sabemos que la media aritmética es mayor o igual que la media geométrica, por lo

[matemáticas] \ frac {x + y + z} {3} \ geq (xyz) ^ {\ frac {1} {3}} [/ matemáticas]

El LHS y el RHS son iguales si y solo es [matemática] x = y = z [/ matemática].

El segundo método usa la derivada, let

[matemáticas] f (x, y, z) = xyz, g (x, y, z) = x + y + z – 360. [/ matemáticas]

Luego calculamos el máximo de [matemáticas] f (x, y, z) [/ matemáticas] dado [matemáticas] g (x, y, z) = 0 [/ matemáticas]. También tenemos la restricción de que x, y, z son mayores o mayores que 0. Use el multiplicador de Lagrange, podemos saber que el mínimo o máximo local ocurre cuando

[matemáticas] \ nabla f (x, y, z) + \ lambda \ cdot \ nabla g (x, y, z) = 0 [/ matemáticas].

[matemáticas] \ nabla g = (1,1,1), \ nabla f = (yz, zx, xy) [/ matemáticas]

Entonces tenemos

[matemáticas] yz = zx = xy. [/ matemáticas]

Cuando x, y, z no son negativos, obtenemos x = y = z. Es fácil saber que cuando x, y, z son iguales, es un máximo local. Luego verificamos el límite del espacio en el que x, y, z no son negativos, el producto en el límite es 0 (una de las variables es 0). Entonces el máximo es [matemáticas] 120 ^ 3 [/ matemáticas].

Answer 2

Como sabemos que

[matemáticas] x + y + z = 360 [/ matemáticas]

podemos decir que elegir x e y óptimas es suficiente para hacer que la multiplicación sea máxima. Sin embargo, debo agregar que

[matemáticas] f (x, y, z) = argmax (xyz) [/ matemáticas]

no tiene límite en números reales. Asumamos que todos son números reales positivos.

[matemáticas] f (x, y, z) = argmax (xy (360-xy)) [/ matemáticas]

Ahora podemos ver que esta función tiene el resultado máximo en un espacio 3D. Donde nuestras variables base son x e y. El máximo local debe tener derivadas con respecto a x e y ambas iguales a cero. Así’

[matemática] \ frac {\ parcial f} {\ parcial x} = 360y-2xy-y ^ 2 = 0 [/ matemática]

[matemática] \ frac {\ parcial f} {\ parcial y} = 360x-2xy-x ^ 2 = 0 [/ matemática]

y

[matemáticas] 360 = 2x + y = 2y + x [/ matemáticas]

[matemáticas] x = y = 120 [/ matemáticas]

Así [matemáticas] z = 120 [/ matemáticas] también.

Entonces, el número máximo que podemos obtener es

[matemáticas] 120 ^ 3 = 1728000 [/ matemáticas]

Answer 3

Una ligera variante sobre las otras respuestas y sin utilizar ningún otro resultado. Cambiemos las variables para que

[matemáticas] n = 120 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = n + a [/ matemáticas]

[matemáticas] y = n + b [/ matemáticas]

[matemáticas] z = nab [/ matemáticas]

Entonces se nos exige maximizar [matemáticas] P = (n + a) (n + b) (nab) [/ matemáticas] variando [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas]. Para maximizar [math] P [/ math], la derivada parcial con respecto a cada variable debe ser cero.

[matemáticas] \ displaystyle 0 = \ frac {\ partial P} {\ partial a} = – (n + b) (2a + b) [/ math]

Entonces, [matemáticas] n + b = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] 2a + b = 0 [/ matemáticas]. Pero si [matemática] n + b = 0 [/ matemática] entonces [matemática] P = 0 [/ matemática] que claramente no es la solución requerida, entonces debemos tener [matemática] 2a + b = 0 [/ matemática].

Del mismo modo, tomando [math] \ frac {\ partial P} {\ partial b} = 0 [/ math] obtenemos [math] a + 2b = 0 [/ math].

Combinando estas ecuaciones obtenemos [matemáticas] a = b = 0 [/ matemáticas] y así

[matemáticas] x = y = z = 120 [/ matemáticas] [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 4

Algunas respuestas mucho más simples, pero aquí hay un enfoque.

La tarea es la siguiente:

[math] \ text {Maximize} \, xyz \, \ text {tal que} \, x + y + z = 360 [/ math]

Entonces, [matemática] xyz = C [/ matemática] donde [matemática] C [/ matemática] es el valor máximo dada la restricción.

Reorganicemos la restricción:

[matemáticas] x + y + z = 360 [/ matemáticas]

[matemáticas] z = 360 – x – y [/ matemáticas]

Sustituyendo eso en lo que queremos maximizar:

[matemáticas] xy (360 – x – y) = C [/ matemáticas]

[matemáticas] 360xy – x ^ 2y – xy ^ 2 = C [/ matemáticas]

Ahora, diferenciando ambos lados:

[matemáticas] 360 (x \ cdot \ frac {dy} {dx} + y) – (x ^ 2 \ cdot \ frac {dy} {dx} + 2xy) – (x \ cdot 2y \ frac {dy} {dx } + y ^ 2) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 360x \ frac {dy} {dx} + 360y – x ^ 2 \ frac {dy} {dx} – 2xy – 2xy \ frac {dy} {dx} – y ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Aislamiento [math] \ frac {dy} {dx} [/ math]:

[matemática] \ frac {dy} {dx} (360x – x ^ 2 – 2xy) + 360y – 2xy – y ^ 2 = 0 [/ math]

[matemática] \ frac {dy} {dx} (360x – x ^ 2 – 2xy) = y ^ 2 + 2xy – 360y [/ math]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {y ^ 2 + 2xy – 360y} {360x – x ^ 2 – 2xy} [/ math]

Ahora para establecer [math] \ frac {dy} {dx} [/ math] en [math] 0 [/ math] para encontrar cualquier extremo:

[matemáticas] 0 = \ frac {y ^ 2 + 2xy – 360y} {360x – x ^ 2 – 2xy} [/ matemáticas]

[matemática] 0 = y ^ 2 + 2xy – 360y [/ matemática]

Separando [matemáticas] y [/ matemáticas]:

[matemáticas] 0 = y (y + 2x – 360) [/ matemáticas]

Como claramente no estamos buscando una solución donde [math] y = 0 [/ math] (ya que eso haría que [math] xyz = 0 [/ math]), eliminemos eso [math] y [/ math ]:

[matemáticas] 0 = y + 2x – 360 [/ matemáticas]

Reorganizar para hacer [matemática] y [/ matemática] el tema:

[matemáticas] y = 360 – 2x [/ matemáticas]

Ante esto, podemos volver a nuestra restricción:

[matemáticas] x + y + z = 360 [/ matemáticas]

Y poner en nuestra ecuación para [matemáticas] y [/ matemáticas]:

[matemáticas] x + (360 – 2x) + z = 360 [/ matemáticas]

[matemáticas] 360 – x + z = 360 [/ matemáticas]

[matemáticas] z – x = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] z = x [/ matemáticas]

Ahora podemos volver a poner esto en nuestra ecuación que queremos maximizar:

[matemáticas] xyz = C [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2y = C [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 (360 – 2x) = C [/ matemáticas]

[matemáticas] 360x ^ 2 – 2x ^ 3 = C [/ matemáticas]

Diferenciar ambos lados ya que queremos maximizar:

[matemáticas] 720x – 6x ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x (720 – 6x) = 0 [/ matemáticas]

Nuevamente, no queremos el valor [math] x = 0 [/ math].

[matemáticas] 720 – 6x = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 6x = 720 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {720} {6} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 120 [/ matemáticas]

[matemáticas] z = x = 120 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 360 – 2x = 120 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = y = z = 120 [/ matemáticas]

Answer 5

Obviamente, podemos usar un método más simple que el multiplicador de LaGrange.

Por la desigualdad AMGM,

[matemáticas] \ displaystyle \ frac 13 (x + y + z) \ geq (xyz) ^ {\ frac 13} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac 13 (360) \ geq (xyz) ^ {\ frac 13} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle 120 \ geq (xyz) ^ {\ frac 13} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ en caja {xyz \ leq 120 ^ 3 = 1728000} [/ matemáticas]

Answer 6

① Si sabes diferenciación parcial,

conjunto f (x, y) = xy (360-xy) = 360xy-yx²-y²x = – (y) x² + (360y-y²) x

df / dx = -2xy + 360y-y² = y (360-y-2x) = 0 → 【para df / dx = df / dy = 0 maximum máximo

2x + y = 360 … (i)

PORQUE f (x, y) es SIMÉTRICO EN (x, y) →

2y + x = 360 【cuando df / dy = 0】

4x + 2y = 720 = 2 * 360

3x = 360

x = 120 … (i) → 240 + y = 360 → y = 120

∵ x + y + z = 360 → z = 120 = y = x

② ¿Pero para qué sirven los hacks?

Si x + y + z = 3k →

xyz = máximo, cuando x = y = z = k, por AM≤GM, si x, y, z son positivos.

【(X + y + z) / 3 ≤ ³√ (xyz)】

Answer 7

Puede lograr números infinitamente largos eligiendo dos números negativos y uno positivo.

Creo que querías resolver el problema dado [matemáticas] x, y, z> 0 [/ matemáticas]

Si es así, usemos una de las desigualdades más simples:

[matemáticas] \ dfrac {x + y + z} {3} ≥ \ sqrt [3] {xyz} [/ matemáticas]

Entonces, el mayor valor posible de multiplicación de esos tres números puede ser [matemática] 120 * 120 * 120 = 1,728,000 [/ matemática].

Respuesta: [matemáticas] 1,728,000 [/ matemáticas].

Answer 8

No hay más grande. Por ejemplo, -1000000 + 1000360–360 = 360, pero -1000000 * 100360 * (- 360) es mucho mayor que su insignificante 120 ^ 3. 😛

Por supuesto, te referías al problema restringido a números positivos.

Entonces sabes cómo resolverlo para números que no sean 360. Es lo mismo, el producto máximo es cuando son iguales.

Answer 9

Si aplica esto a dos números, es relativamente fácil demostrar que la solución sería x e y ambos equivalen a la mitad del total, es decir 180. El producto máximo sería 180 x 180 = 32 400

Para una solución simple con tres números, hay un valor máximo cuando x, y y z son todos iguales a 120, con un producto de 120 ^ 3 = 1 728 000

Sin embargo, esta es solo la mejor solución si estipula que todos los números deben ser positivos. Si no lo hace, no hay un valor máximo, ya que podría hacer que dos de los números sean negativos para obtener un producto más grande.

Por ejemplo, 560 + (-100) + (-100) = 360, y el producto de 5 600 000 es mucho mayor que 120 ^ 3

Puede mejorar esta respuesta haciendo que el número positivo 2 sea más alto y ambos números negativos 1 menos, es decir, más abajo de cero

Entonces 562 + (-101) + (-101) = 360

562 x (-101) x (-101) = 5732962, que es mayor que la respuesta anterior

Puede aumentar el producto indefinidamente sumando 2 al número positivo y restando 1 de los dos negativos.

Answer 10

Podemos usar el método de multiplicadores de Lagrange para maximizar una función dada, que llamaremos [matemática] f [/ matemática], en este caso [matemática] f (x, y, z) = xyz [/ matemática], de acuerdo con otra función de restricción, que llamaremos [math] g [/ math], en este caso [math] g (x, y, z) = x + y + z [/ math].

No voy a demostrarlo aquí, pero este método afirma que en nuestro punto deseado, el gradiente de la función [matemática] f [/ matemática] es un múltiplo escalar de la función de restricción [matemática] g [/ matemática], con la constante de proporcionalidad se llama [math] \ lambda [/ math].

Entonces [math] \ nabla f = \ lambda \ nabla g [/ math], y obtenemos el sistema de ecuaciones:

[matemáticas] (1) \ frac {\ partial f} {\ partial x} = \ lambda \ frac {\ partial g} {\ partial x} \ Rightarrow yz = \ lambda [/ math]

[matemáticas] (2) \ frac {\ partial f} {\ partial y} = \ lambda \ frac {\ partial g} {\ partial y} \ Rightarrow xz = \ lambda [/ math]

[matemáticas] (3) \ frac {\ partial f} {\ partial z} = \ lambda \ frac {\ partial g} {\ partial z} \ Rightarrow xy = \ lambda [/ math]

[matemáticas] (4) \, x + y + z = 360 [/ matemáticas]

Como estas ecuaciones son simétricas, sabemos que [matemática] \ displaystyle x = y = z [/ matemática], por lo tanto, la solución es [matemática] \ displaystyle x = y = z = \ frac {360} {3} = 120. [/matemáticas]

Esto nos dice que el número más grande es [math] \ displaystyle 120 ^ 3 = 1,728,000. [/ Math]

Answer 11

En primer lugar, tenga en cuenta que esto no tiene límites. 2a, 180-a, 180-a suman 360, y su producto no tiene límites.

Si buscamos un máximo local:

Usa multiplicadores de Lagrange.

Se nos da: max (xyz: x + y + z = 360).

Obtenemos L (x, y, z, λ) = xyz – λ (x + y + z-360)

Toma derivadas parciales y ponlas todas a cero:

∂L / ∂x = yz-λ = 0

∂L / ∂y = xz-λ = 0

∂L / ∂z = xy-λ = 0

∂L / ∂λ = 360-xyz = 0

Para resolver esto, primero tenga en cuenta que xy = xz = yz = λ. También tenemos 360-xyz = 0. La solución es que x = y = z = 120, λ = 14400.

Answer 12

Para generar el número más grande, [matemáticas] x = y = z = \ frac {360} {3} = 120 [/ matemáticas].

Por lo tanto, el número más grande es [matemáticas] 120 [/ matemáticas] [matemáticas] ^ 3 = 12 ^ 3 × 10 ^ 3 = 1728 × 10 ^ 3 = 1728000 [/ matemáticas].

Answer 13

* A2A

[matemáticas] \ begin {cases} \ text {Optimize} \\ f (x, y, z) = xyz \\\ text {con respecto a la restricción} \\ S (x, y, z) = x + y + z-360 \\ x, y, z> 0 \ end {cases} \\\ begin {array} {c | c} f_x = yz & S_x = 1 \\ f_y = zx & S_y = 1 \\ f_z = xy & S_z = 1 \ \\ hline \ end {array} \\\ text {Usando multiplicadores de Lagrange …} \\ f_x = \ lambda S_x \\ f_y = \ lambda S_y \\ f_z = \ lambda S_z \\\ text {Combinando todo junto …} \ \ xy = yz = zx \\\ text {Tomando dos a la vez …} \\\ begin {array} {c | c} xy = yz & yz = zx \\ x = z & y = x \\\ hline \ end {array } \\ x = y = z \\\ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ begin {align} x + y + z & = 360 \\ 3x = 3y = 3z & = 360 \\ x = y = z & = 120 \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Producto máximo: [matemáticas] \ begin {align} f (x, y, z) & = xyz \\ & = 120 ^ 3 \\ & = 12 ^ 3 \ times10 ^ 3 \\ & = 1728 \ times1000 \\ & = \ boxed {1728000} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Answer 14

Sea A = un número infinitamente grande …

Entonces deja …

X = -A

Y = -A

Z = + 2A + 360

Conéctese a ecuaciones originales …

(-A) + (- A) + (2A + 360) = 360

(-A) (- A) (2A + 360) = 2A ^ 3 + 360A ^ 2

Conecte 1000 In para A y obtendrá un número gigante, pero conecte 1001 y obtendrá uno aún más grande; por lo tanto, X e Y serán iguales al mayor número del mundo por -1 y Z será el mayor número por 2, ¡más 360!

Probablemente no sea la respuesta que estabas buscando, pero creo que funciona. Si no es así, llámame, no soy el mejor en matemáticas :).

Answer 15

Pruebe los multiplicadores de Lagrange:
Desea maximizar F (x, y, z) = xyz sujeto a la condición de que x + y + z = 360.
Entonces define una función auxiliar G (x, y, z; a) = xyz + a (x + y + z-360). “A” es tu multiplicador de Lagrange.
Las derivadas de G con respecto a x, y, z y a deben ser cero en un punto extremo. Entonces:

1. xy + a = 0
2. xz + a = 0
3. yz + a = 0
4. x + y + z-360 = 0

De las ecuaciones 1. a 3. se deduce que x = y = z. Enchufe eso en la ecuación. 4 y has demostrado que 120 es tu solución. Deberías buscar en Google los multiplicadores de Lagrange, son realmente geniales.

Answer 16

Oh, bien, adivina y verifica, bueno, así es como lo llamaba mi maestro de Álgebra. Entonces, suma a 360 en general, habría un número que tiene que multiplicar por el número más alto, 120 es correcto para los tres, porque al multiplicarlo, obtienes 1728000 mientras tanto si haces algo más como 120 veces 121 veces 119 obtener 1727880. En general, para estas situaciones, cuanto más cerca están juntas, mayor valor multiplica. No estoy seguro si hay una fórmula. Alguien me dice si hay pero estoy seguro de que es 120 para xy y z. Estabas en lo correcto.

Answer 17

Answer 18

Como [math] \ frac {x + y + z} {3} \ geq \ sqrt [3] {xyz} [/ math], la igualdad ocurre si f x = y = z, por lo tanto, el valor máximo de xyz es [math] 120 ^ 3 [/ matemáticas]

Answer 19

x + y + z = a

z = a – x – y

V = xyz = max

V = xya -xxy – xyy

dV / dx = 0 = ya -2xy – aa

a – 2x – y = 0

dV / dy = 0 = xa – xx -2xy

a – x – 2y = 0

a = 2x + y = x + 2y

x = y

a = 3x = 3y

x = a / 3

y = a / 3

z = a / 3

Answer 20

[matemáticas] \ frac {x + y + z} {3} \ geq \ sqrt [3] (xyz) [/ matemáticas]

[matemáticas] xyz \ leq 120 ^ 3 [/ matemáticas]