¿Existe una solución completa (o parcialmente completa) para la desigualdad funcional [matemáticas] -2 \ le \ dfrac {f ‘(x)} {f (x)} \ le 2 [/ matemáticas]?

Answer 1

Primero, considere la función constante [matemáticas] f (x) = k [/ matemáticas], donde [matemáticas] k [/ matemáticas] es un número real. Como [math] f ‘(x) = 0 [/ math], tenemos [math] \ frac {f’ (x)} {f (x)} = 0 [/ math] para todos los valores de [math] k [/ matemáticas] que no son 0 y esto satisface la desigualdad.

Suponga que [math] f (x) = e ^ {kx} [/ math], donde [math] k [/ math] es un número real. Entonces [math] \ frac {f ‘(x)} {f (x)} = \ frac {k * e ^ {kx}} {e ^ {kx}} = k. [/ Math]

Entonces, tenemos la condición [math] -2 \ leq k \ leq 2 [/ math] para que la función [math] e ^ {kx} [/ math] satisfaga esta propiedad.

Probemos con otro. Ahora, [math] f (x) = e ^ {kx} + c [/ math], [math] k [/ math] y [math] c [/ math] son ​​números reales.

Entonces, [matemáticas] \ frac {f ‘(x)} {f (x)} = \ frac {k * e ^ {kx}} {e ^ {kx} + c} = \ frac {k} {1 + c * e ^ {- kx}} [/ math].

Considere dos casos: [matemática] k> 0 [/ matemática] y [matemática] k <0 [/ matemática].

Si [math] k> 0 [/ math], [math] \ frac {k} {1 + c * e ^ {- kx}} [/ math] se delimita de la siguiente manera:

Cuando [math] x [/ math] va al infinito negativo, [math] \ frac {k} {1 + c * e ^ {- kx}} [/ math] va a [math] 0 [/ math].

Cuando [math] x [/ math] va al infinito positivo, [math] \ frac {k} {1 + c * e ^ {- kx}} [/ math] va a [math] k [/ math].

Y finalmente, [matemática] \ frac {k} {1 + c * e ^ {- kx}} [/ matemática] está delimitada si [matemática] c> 0 [/ matemática] (si [matemática] c <0 [/ matemática] hay un valor de [matemática] x [/ matemática] que hace que el denominador [matemática] 0 [/ matemática], lo que no sucede si [matemática] c [/ matemática] es positiva o [matemática] 0 [ /matemáticas])

Entonces [matemáticas] 0 <\ frac {k} {1 + c * e ^ {- kx}} <k [/ matemáticas]. Entonces, todo lo que necesitamos es tener [matemáticas] k 0 [/ matemáticas].

Podemos hacer lo mismo para [math] k <0 [/ math] y encontrar la misma condición.

Sin embargo, sospecho que esto ni siquiera rasca la superficie. Es posible que necesite más tiempo para encontrar una mejor solución.

Answer 2

Hay una gran cantidad de soluciones para tal desigualdad. Lo reescribiré definiendo una nueva función [matemáticas] g \ left (x \ right) = \ log \ left | f \ left (x \ right | \ right) [/ math] y la desigualdad toma la forma

[matemáticas] -2 \ leq g ‘\ left (x \ right) \ leq 2. [/ math]

Ahora he asumido que la función [matemáticas] f [/ matemáticas] no tiene ceros, porque entonces la desigualdad no tendría sentido en todas partes.

Entonces, si toma una función [matemática] h \ izquierda (x \ derecha) [/ matemática] de modo que tenga una función primitiva y su rango sea un subconjunto del intervalo [matemática] \ izquierda [-2,2 \ derecha ] [/ math] y toma [math] g [/ math] como su función primitiva, obtienes una solución para la desigualdad. Por lo tanto, las funciones

[matemáticas] f _ {\ pm} \ left (x \ right) = \ pm \ exp \ left (\ int h (x) \ mathrm {d} x \ right) [/ math]

Son soluciones de la desigualdad. Esta ambigüedad se debe a que definimos [matemáticas] g [/ matemáticas] usando el valor absoluto y que la desigualdad es invariante con respecto a la inversión de signos.

Ahora, si admitiera que las soluciones funcionan con ceros de modo que la fracción se puede definir mediante un límite, es decir, que la desigualdad se mantiene en casi todas partes (es decir, en todas partes, excepto en un conjunto de medidas cero, como conjuntos finitos o conjuntos contables), entonces el La pregunta se vuelve un poco complicada.

En primer lugar, si el dominio de una función es descomponible en intervalos que cubren todo el dominio, excepto un conjunto discreto de ceros, entonces la solución mostrada en párrafos anteriores se mantiene en cada uno de los intervalos (posiblemente con diferentes funciones [matemáticas] h [ / math]), lo que significa que ambas soluciones tienen límites distintos de cero en el extremo común del intervalo, por lo que para que se mantenga la continuidad (necesaria para la diferenciabilidad finita), el signo debe ser el mismo, lo que significa que la función realmente no No tiene ceros.

En el caso más complicado donde esta descomposición es imposible, el conjunto de ceros debe ser denso en algún subintervalo de [math] \ mathbb {R} [/ math], en cuyo caso se deduce de la continuidad que [math] f [/ math ] es cero en todo el intervalo, en cuyo caso la desigualdad no tiene sentido. Entonces, la solución mostrada para el caso de [math] f [/ math] sin ceros es general.

Descargo de responsabilidad: soy físico y sé que hay ciertas cosas en matemáticas sobre de lo cual no estoy completamente seguro al 100% (aunque generalmente estoy por encima del 95%), por lo que si algún matemático lee esto, agradeceré una confirmación o información de por qué está mal. ¡Gracias!

Editar: Olvidé agregar la posibilidad de una solución negativa, arreglada ahora.

Answer 3

Answer 4

Como dijo Alexandre, la desigualdad se resuelve para f (x) = k, donde k es cualquier número real. Esto puede ser lo mismo que su respuesta, pero creo que este también es un buen conjunto de soluciones:

f (x) = e ^ kx, donde -2