¿Cómo resolvería [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ cos (\ sin x) – \ cos x} {x ^ 4} [/ math]?

Answer 1

* A2A: –

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {\ cos \ left (\ sin x \ right) – \ cos x} {x ^ 4} [/ math]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {2 \ sin \ left (\ dfrac {x + \ sin x} {2} \ right) \ sin \ left (\ dfrac {x- \ sin x} {2} \ right)} {x ^ 4} \ qquad \ left [\ porque \ cos \ theta- \ cos \ phi = 2 \ sin \ left (\ dfrac {\ theta + \ phi} {2} \ right ) \ sin \ left (\ dfrac {\ phi- \ theta} {2} \ right) \ right] [/ math]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {x ^ 2- \ sin ^ 2x} {2x ^ 4} \ qquad \ left [\ porque \ text {For} \ theta \ aprox 0, \ sin \ theta \ approx \ tan \ theta \ approx \ theta \ right] [/ math]

[math] \ star [/ math] [math] \ dfrac {\ to0} {\ to0} [/ math], por lo tanto, aplique la regla de L’Hôpital: –

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {2x- \ sin2x} {8x ^ 3} [/ matemáticas]

[math] \ star [/ math] [math] \ dfrac {\ to0} {\ to0} [/ math], vuelva a aplicar la regla de L’Hôpital: –

[matemáticas] \ implica \ dfrac {1} {3} \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {1- \ cos 2x} {\ left (2x \ right) ^ 2} = \ boxed {\ boxed { \ dfrac {1} {6}}} \ qquad \ left [\ porque \ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to0} \ dfrac {1- \ cos \ theta} {\ theta ^ 2} = \ dfrac {1} { 2} \ right] [/ math]

Answer 2

Mi respuesta se basará en las siguientes expansiones:

[matemáticas] \ cos (x) = 1 – \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 4} {4!} + O (x ^ 6) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin (x) = x – \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 5} {5!} + O (x ^ 7) [/ matemáticas]

[matemáticas] (1 – x) ^ n \ aprox 1 – nx [/ matemáticas] (para pequeñas [matemáticas] x [/ matemáticas])

Simplificando el numerador para obtener alguna expresión de [math] O (x ^ 4) [/ math]:

Usando la expansión 1:

[matemáticas] \ cos (\ sin (x)) \ aprox 1 – \ frac {\ sin ^ 2 (x)} {2} \ implica \ cos (\ sin (x)) – \ cos (x) \ aprox \ frac {x ^ 2 – \ sin ^ 2 (x)} {2!} [/ math]

Ahora usando la expansión 2:

[matemáticas] \ implica \ frac {x ^ 2 – \ sin ^ 2 (x)} {2!} \ aprox \ frac {x ^ 2 – \ left (\ frac {6x – x ^ 3} {6} \ right ) ^ 2} {2} = \ frac {x ^ 2} {2} \ left (1 – \ left (1 – \ frac {x ^ 2} {6} \ right) ^ 2 \ right) [/ math]

De la expansión 3:

Numerador [matemática] = \ frac {x ^ 2} {2} \ left (1 – \ left (1 – \ frac {x ^ 2} {6} \ right) ^ 2 \ right) \ approx \ frac {x ^ 2} {2} \ left (1 – \ left (1 – \ frac {2x ^ 2} {6} \ right) \ right) = \ frac {x ^ 4} {6} [/ math]

Ahora, sustituyendo esta aproximación en la ecuación límite real, obtenemos: [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ frac {x ^ 4} {6x ^ 4} = \ boxed {\ frac {1} {6} }[/matemáticas]

Answer 3

Haremos un limite rapido

[matemáticas] \ displaystyle {\ lim_ {x \ a 0}} \ dfrac {\ sin x – x} {x3} [/ matemáticas]

en la expansión de la serie taylor de [math] {\ sin x} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle {\ lim_x \ a 0} x – x ^ 3/3! + … -x = \ frac {-1} {6} [/ matemáticas]

Ahora para resolver el numerador, usamos identidad

[matemáticas] \ cos a – \ cos b = -2 \ sin \ dfrac {a + b} {2} \ cdot \ sin \ dfrac {ab} {2} [/ matemáticas]

Resolviendo el numerador obtendremos

[matemática] -2 \ sin [/ matemática] [matemática] (\ dfrac {\ sin x + x} {2}) \ cdot \ sin (\ dfrac {\ sin xx} {2}) [/ matemática]

Esto se puede escribir más adelante como

[matemáticas] \ dfrac {-2 \ sin (\ dfrac {\ sin x + x} {2}) \ cdot \ sin (\ dfrac {\ sin xx} {2}) \ cdot (\ dfrac {\ sin x + x} {2}) \ cdot (\ dfrac {sin xx} {2})} {(\ dfrac {sin x + x} {2}). (\ dfrac {sin xx} {2})} [/ math ]

Solo concentrándome en los últimos dos términos en el numerador de la expresión anterior

[matemáticas] (\ dfrac {\ sin x + x} {2}) \ cdot (\ dfrac {\ sin xx} {2}) [/ matemáticas]

puede escribirse dividiendo el primer término entre x y el segundo entre [matemáticas] \: [/ matemáticas] [matemáticas] x ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] (\ dfrac {\ dfrac {\ sin x} {x} + 1} {2x}) \ cdot (\ dfrac {\ sin xx} {2x ^ 3}) [/ matemáticas]

Ahora la [matemática] \: x [/ matemática] [matemática] ^ 4 \: [/ matemática] se cancelará con [matemática] \: x ^ 4 \: [/ matemática] de la ecuación original dejándonos con

[matemáticas] \ dfrac {-2 \ sin (\ dfrac {\ sin x + x} {2}) \ cdot \ sin (\ dfrac {\ sin xx} {2}) \ cdot (\ dfrac {\ sin x + x} {2}) \ cdot (\ dfrac {\ sin xx} {2x ^ 3})} {(\ dfrac {\ dfrac {\ sin x} {x} +1} {2}) \ cdot (\ dfrac {\ sen xx} {x})} [/ math]

que consiste en aplicar [matemáticas] \ displaystyle {\ lim_x \ a 0} -2 \ cdot 1 \ cdot 1 \ cdot \ dfrac {(1 + 1)} {2} \ cdot \ dfrac {-1} {6} \ cdot \ dfrac {1} {2} = \ dfrac {1} {6} [/ math]

Ignore cualquier paréntesis faltante que no sea muy cómodo con el látex.

Disculpe por el error original: necesito un tutorial sobre cómo hacer que LaTex funcione

Answer 4

aplicar l -hospital sería probablemente la forma más larga de comenzar, así que trate de manipular las cosas primero y evite el uso de lopital para aumentar sus habilidades de resolución de problemas al límite. Espero que tenga su respuesta

Answer 5

Como puede ver, el límite tiene una forma 0/0, por lo que es aplicable la Regla L’Hopitals que establece que el límite {f (x) / g (x)} = límite {[d / dx.f (x)] / d / dx.g (x)}

Por lo tanto, solo mantenga el numerador y el denominador diferenciados siempre que se mantenga la forma 0/0. Una vez que el denominador se vuelve independiente de x, simplemente ponga valores para encontrar el límite. Pruébelo usted mismo y si tiene alguna duda, como lejos. ¡FELIZ APRENDIZAJE!

Answer 6

Answer 7

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {cos (sinx) -cosx} {x ^ 4} [/ matemáticas]

como ve cuando ponemos [math] 0 [/ math] en esta ecuación. dado arriba forma [math] \ dfrac {0} {0} [/ math] que es una forma indeterminada.

Podemos resolver la pregunta anterior utilizando la regla de L’Hôpital

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {-sin (sinx) cosx + sinx} {4x ^ 3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {-cos (sinx) cos ^ 2x + sin (sinx) sinx} {12x ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {sin (sinx) cos ^ 3x + cos (sinx) sin2x + cos (sinx) cosxsinx + sin (sinx) cosx} { 24x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {cos (sinx) cos ^ 4x-sin (sinx) 3cos ^ 2xsinx-sin (sinx) cosxsin2x + 2cos (sinx) cos2x – cos (sinx) sin ^ 2x-sin (sinx) sinx-sin (sinx) cos ^ 2xsinx + 2cos (sinx) cosx} {24} [/ matemáticas]

ahora aplica este límite en esta mierda (pon x = 0)

después de aplicar el límite se convertirá

[matemáticas] \ dfrac {4} {24} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {6} Respuesta final [/ matemáticas]

No sé si esta es la respuesta correcta porque L-Hopital crea un desastre total

Resuelve esto usando la serie Taylor

Answer 8

Sin0 = 0; cos0 = 1

Cualquier cosa dividida por 0 no está definida.

Por lo tanto, (1 – 1) / 0 => 0