Gracias por preguntar, en realidad es un producto regularizado infinito, se puede derivar de la regularización Zeta. Usando esta regularización, generalmente asignamos un valor finito para varias series y productos divergentes y encontramos un valor regularizado de esa serie o producto en particular, es muy común hoy en día en varios campos de la física como la teoría de cuerdas y la mecánica cuántica, y también se aplica a varias enfermedades. -comportado sumaciones que aparecen en la teoría de números analíticos.
Proposición:
[matemáticas] \ large \ boxed {\ infty! = \ sqrt {2 \ pi}} \ tag * {} [/ math]
En primer lugar, definimos la función zeta de Riemann como ..
- ¿Cómo resolvería [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ cos (\ sin x) – \ cos x} {x ^ 4} [/ math]?
- ¿Existe una solución completa (o parcialmente completa) para la desigualdad funcional [matemáticas] -2 \ le \ dfrac {f ‘(x)} {f (x)} \ le 2 [/ matemáticas]?
- ¿Qué son A y B si P (A o B) = P (A) + P (B)?
- ¿La prueba 1 + 2 + 3 + 4 +… = -1/12 realizada por Numberphile es correcta?
- Si [matemáticas] a ^ 2 + 1 = a [/ matemáticas], ¿cuál es el valor de [matemáticas] a ^ 3 [/ matemáticas]?
[matemática] \ zeta (s) = \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {n ^ s} \ tag * {} [/ math]
Ahora la siguiente tarea es calcular su derivada, podemos acercarnos así
[matemáticas] \ begin {align} \ zeta ‘(s) & = \ dfrac {d} {ds} \ left \ {\ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {n ^ s} \ right \} \\ & = \ dfrac {d} {ds} \ left \ {\ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} n ^ {- s} \ right \} \\ & = – \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} n ^ {- s}. \ log (n) \ tag {1} \ end {align} \ tag * {} [/ math]
Esta es nuestra primera forma de [math] \ zeta ‘(s) [/ math], ahora usaremos la función Dirichlet eta para llegar a otra forma de [math] \ zeta’ (s) [/ math]
Explotando la relación entre las funciones Zeta y eta, luego tomando derivadas podemos escribir
[matemáticas] \ begin {align} \ zeta ‘(s) & = \ dfrac {d} {ds} \ left \ {\ eta (s) (1-2 ^ {1-s}) ^ {- 1} \ right \} \\ & = \ zeta (s) \ left \ {\ dfrac {\ eta ‘(s)} {\ eta (s)} – \ dfrac {2 ^ {1-s} \ log (2)} {1-2 ^ {1-s}} \ right \} \ tag {2} \ end {align} \ tag * {} [/ math]
Ahora calculemos [math] \ zeta ‘(0) [/ math] para la ecuación (1) y (2)
Para la ecuación (1) tenemos
[matemática] \ zeta ‘(0) = – \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ log (n) \ tag * {(3)} [/ math]
Para la ecuación (2) usaremos [math] \ eta (0) = \ dfrac {1} {2} ~, ~ \ zeta (0) = – \ dfrac {1} {2} [/ math] y [math ] \ eta ‘(0) = \ dfrac {1} {2} \ log \ left (\ dfrac {\ pi} {2} \ right) [/ math], y llegaremos a
[matemáticas] \ begin {align} \ zeta ‘(0) & = – \ eta’ (0) – \ log (2) \\ & = \ dfrac {1} {2} \ log \ left (\ dfrac {\ pi} {2} \ right) – \ log (2) \\ & = – \ dfrac {1} {2} \ log (2 \ pi) \ tag * {(4)} \ end {align} \ tag * {} [/matemáticas]
Ahora viene a la parte principal, es decir [matemáticas] \ infty! [/matemáticas]
[matemáticas] \ begin {align} \ infty! & = 1.2.3.4 \ cdots \ infty \\ & = \ displaystyle \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} n = \ mathrm {exp} \ left \ {\ log \ left (\ displaystyle \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} n \ right) \ right \} \\ & = \ mathrm {exp} \ left \ {\ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ { \ infty} \ log (n) \ right \} \\ & = \ mathrm {exp} \ left \ {- \ zeta ‘(0) \ right \} \ tag {Usando la ecuación 3} \\ & = \ mathrm {exp} \ left \ {\ dfrac {1} {2} \ log (2 \ pi) \ right \} \ tag {Uso de la ecuación 4} \\ & = \ sqrt {2 \ pi} \ end {align} \ tag * {} [/ math]
Entonces, usando la función Zeta regularizada, llegamos a esta identidad mágica regularizada, es decir.
[matemáticas] \ large \ boxed {\ pi = \ dfrac {1} {2} \ cdot \ left \ {\ infty! \ right \} ^ 2} \ tag * {} [/ math]
Otro resultado intrigante que podemos obtener usando la regularización zera es Primorial of infinity, ¿es así?
[math] \ large \ boxed {\ infty \ # = 4 \ pi ^ 2} \ tag * {} [/ math]
