Si P y Q son dos puntos en la curva y = x + 1 / x tal que OP.i = 1 y OQ.i = -1, donde i es un vector unitario a lo largo del eje x, entonces cuál es la longitud de 3OP + 2OQ?

[math] \ newcommand {\ v} [1] {\ overrightarrow {# 1}} [/ math]

Para cualquier vector [math] \ v {v} = x \ v {i} + y \ v {j}, [/ math] su producto de punto con [math] \ v {i} [/ math] es simplemente su [ matemática] x [/ matemática] -componente.

Por lo tanto,

[matemáticas] OP_x = 1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] OQ_x = -1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Dado que [matemática] P [/ matemática] y [matemática] Q [/ matemática] se encuentran en la curva [matemática] y = x + \ frac {1} {x}, [/ matemática]

[matemáticas] OP_y = 1 + \ frac {1} {1} = 2 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] OQ_y = -1 + \ frac {1} {- 1} = – 2 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]


[matemáticas] \ v {OP} = 1 \ v {i} +2 \ v {j} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ v {OQ} = – 1 \ v {I} -2 \ v {j} = – \ v {OP} \ tag * {} [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] 3 \ v {OP} +2 \ v {OQ} = 3 \ v {OP} -2 \ v {OP} = \ v {OP} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ mid \ v {OP} \ mid = \ sqrt {OP_x ^ 2 + OP_y ^ 2} = \ boxed {\ sqrt {5}} \ tag * {} [/ math]