Usar las series geométricas para responder esta pregunta es una buena respuesta, aunque me gustaría probar la fórmula de series geométricas finitas para los números complejos. Podríamos hacer eso aquí, pero hay una manera más fácil.
Si [matemática] n = 4m [/ matemática] para alguna [matemática] m [/ matemática] natural, observe que
[matemáticas] 1 + i + -1 + -i + \ text {… ..} + 1 + i + -1 + -i \ text {(← n veces),} [/ matemáticas]
y como [math] 1 + i + -1 + -i = 0 [/ math], también lo hace la expresión anterior. Esto significa que podemos reescribir
- Cómo calcular [matemáticas] a_1 [/ matemáticas] de [matemáticas] a_ {n + 1} = 3a_n – n [/ matemáticas] cuando sé que [matemáticas] a_5 = -5 [/ matemáticas]
- Si P y Q son dos puntos en la curva y = x + 1 / x tal que OP.i = 1 y OQ.i = -1, donde i es un vector unitario a lo largo del eje x, entonces cuál es la longitud de 3OP + 2OQ?
- Dado que x + y + z = 360, ¿qué valores de x, y y z dan el mayor número cuando se multiplican?
- ¿Qué es [matemáticas] \ dfrac {1} {2} \ left \ {\ infty! \ right \} ^ 2 [/ math]?
- ¿Cómo resolvería [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ cos (\ sin x) – \ cos x} {x ^ 4} [/ math]?
[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ {n} i ^ {k} \ text {as} 0+ \ sum_ {k = 0} ^ {n \ text {(mod} 4)} i ^ {k} . [/matemáticas]
¡Simplificar esta suma cuando [math] n = 0,1,2,3 [/ math] es fácil! Dejando
[matemáticas] f (n) = \ sum_ {k = 1} ^ {n} i ^ {k} \ text {, con} f: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {C} \ text {,} [ /matemáticas]
vemos eso
[matemáticas] f (n) = \ begin {cases} 0 & \ text {; if} 0 = n \ text {(mod} 4) \\ 1 & \ text {; if} 1 = n \ text {(mod} 4) \\ 1 + i & \ text {; if} 2 = n \ text {(mod} 4) \\ i & \ text {; if} 3 = n \ text {(mod} 4) \ end {cases}. [/matemáticas]
Mirar los puntos en el plano complejo que esta función golpea es algo extraño; ¡periódicamente golpean las esquinas de un cuadrado!
Gracias por leer 🙂