Cómo simplificar [matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ ni ^ k [/ matemáticas]

Usar las series geométricas para responder esta pregunta es una buena respuesta, aunque me gustaría probar la fórmula de series geométricas finitas para los números complejos. Podríamos hacer eso aquí, pero hay una manera más fácil.

Si [matemática] n = 4m [/ matemática] para alguna [matemática] m [/ matemática] natural, observe que

[matemáticas] 1 + i + -1 + -i + \ text {… ..} + 1 + i + -1 + -i \ text {(← n veces),} [/ matemáticas]

y como [math] 1 + i + -1 + -i = 0 [/ math], también lo hace la expresión anterior. Esto significa que podemos reescribir

[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ {n} i ^ {k} \ text {as} 0+ \ sum_ {k = 0} ^ {n \ text {(mod} 4)} i ^ {k} . [/matemáticas]

¡Simplificar esta suma cuando [math] n = 0,1,2,3 [/ math] es fácil! Dejando

[matemáticas] f (n) = \ sum_ {k = 1} ^ {n} i ^ {k} \ text {, con} f: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {C} \ text {,} [ /matemáticas]

vemos eso

[matemáticas] f (n) = \ begin {cases} 0 & \ text {; if} 0 = n \ text {(mod} 4) \\ 1 & \ text {; if} 1 = n \ text {(mod} 4) \\ 1 + i & \ text {; if} 2 = n \ text {(mod} 4) \\ i & \ text {; if} 3 = n \ text {(mod} 4) \ end {cases}. [/matemáticas]

Mirar los puntos en el plano complejo que esta función golpea es algo extraño; ¡periódicamente golpean las esquinas de un cuadrado!

Gracias por leer 🙂

Si i es la raíz cuadrada de -1, entonces esta es una progresión geométrica y se puede sumar de la manera normal a (1 – i ^ (n + 1)) / (1 – i). Puede crear una alternativa con denominador real multiplicando arriba y abajo por (1 + i) para obtener 1/2 * (1 + i) (1 – i ^ (n + 1))

En general,

[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ nx ^ k = \ frac {x ^ {\ left (n + 1 \ right)} – ​​1} {x-1} [/ math]

Dado que el límite inferior de la suma utiliza una variable que no aparece en el argumento, la respuesta es i ^ n.